Verilen soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
  • Bir ABC dik üçgeni var.
  • $m(\hat{B}) = 90^\circ$ olduğu belirtilmiş. Bu, B köşesindeki açının dik açı olduğu anlamına gelir.
  • $|AB| < |BC|$ şeklinde bir kenar uzunluğu eşitsizliği verilmiş.
• 2. Açılar Arasındaki İlk İlişkiyi Kuralım:
  • Bir dik üçgende en büyük açı her zaman dik açıdır. Bu durumda, $m(\hat{B}) = 90^\circ$ olduğu için, diğer açılar olan $m(\hat{A})$ ve $m(\hat{C})$ kesinlikle $90^\circ$'den küçüktür.
  • Dolayısıyla, $m(\hat{A}) < m(\hat{B})$ ve $m(\hat{C}) < m(\hat{B})$ diyebiliriz. Bu da $m(\hat{B})$'nin en büyük açı olduğunu gösterir.
• 3. Kenar Uzunlukları ile Açılar Arasındaki İlişkiyi Kullanarak Diğer Sıralamayı Bulalım:
  • Bir üçgende, büyük kenarın karşısında büyük açı, küçük kenarın karşısında ise küçük açı bulunur.
  • Verilen eşitsizlik $|AB| < |BC|$ şeklindedir.
  • $|AB|$ kenarının karşısındaki açı $m(\hat{C})$'dir.
  • $|BC|$ kenarının karşısındaki açı $m(\hat{A})$'dir.
  • Bu durumda, $|AB| < |BC|$ eşitsizliğinden yola çıkarak $m(\hat{C}) < m(\hat{A})$ sonucuna ulaşırız.
• 4. Tüm Sıralamaları Birleştirelim:
  • İlk olarak $m(\hat{B})$'nin en büyük açı olduğunu bulduk.
  • İkinci olarak $m(\hat{C}) < m(\hat{A})$ olduğunu bulduk.
  • Bu iki bilgiyi birleştirdiğimizde, açıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı şu şekilde olur: $m(\hat{C}) < m(\hat{A}) < m(\hat{B})$.

Cevap C seçeneğidir.