Verilen ABCD dörtgeninde en kısa kenarı bulmak için, dörtgeni iki üçgene ayırıp her bir üçgendeki kenar uzunluklarını açılarına göre sıralayacağız. Bir üçgende, en küçük açının karşısındaki kenar en kısa kenardır.

• 1. $\triangle ABD$ üçgenini inceleyelim:
• Verilen açılar: $\angle A = 57^\circ$, $\angle ABD = 63^\circ$.
• Üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan, $\angle ADB = 180^\circ - (57^\circ + 63^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
• Açıları sıralayalım: $57^\circ < 60^\circ < 63^\circ$. Yani $\angle A < \angle ADB < \angle ABD$.
• Bu açılara karşılık gelen kenarları sıralayalım: $\angle A$'nın karşısında $BD$, $\angle ADB$'nin karşısında $AB$, $\angle ABD$'nin karşısında $AD$ kenarı vardır.
• Dolayısıyla, $\triangle ABD$ üçgeninde kenar sıralaması: $BD < AB < AD$.
• 2. $\triangle BCD$ üçgenini inceleyelim:
• Verilen açılar: $\angle C = 62^\circ$, $\angle CBD = 60^\circ$.
• Üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan, $\angle BDC = 180^\circ - (62^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$.
• Açıları sıralayalım: $58^\circ < 60^\circ < 62^\circ$. Yani $\angle BDC < \angle CBD < \angle C$.
• Bu açılara karşılık gelen kenarları sıralayalım: $\angle BDC$'nin karşısında $BC$, $\angle CBD$'nin karşısında $CD$, $\angle C$'nin karşısında $BD$ kenarı vardır.
• Dolayısıyla, $\triangle BCD$ üçgeninde kenar sıralaması: $BC < CD < BD$.
• 3. Sonuçları birleştirelim:
• $\triangle ABD$'den: $BD < AB$ ve $BD < AD$.
• $\triangle BCD$'den: $BC < CD < BD$.
• Bu iki sıralamayı birleştirdiğimizde, $BC$ kenarı $CD$'den daha kısa, $CD$ kenarı $BD$'den daha kısa, ve $BD$ kenarı da $AB$ ile $AD$'den daha kısadır.
• Yani, $BC < CD < BD < AB$ ve $BC < CD < BD < AD$.
• Bu durumda, tüm kenarlar arasında en kısa olan kenar $BC$ kenarıdır.

Cevap D seçeneğidir.