Verilen soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. Mavi Kartonun Köşegen Uzunluğunu Bulma:

Mavi karton bir dikdörtgen olup kenar uzunlukları 10 cm ve 30 cm'dir. Bir dikdörtgenin köşegen uzunluğu Pisagor teoremi ile bulunur:

$d_{mavi} = \sqrt{10^2 + 30^2} = \sqrt{100 + 900} = \sqrt{1000}$

$d_{mavi} = \sqrt{100 \times 10} = 10\sqrt{10}$ cm.

• 2. "İkişer Köşesi Çakışmaktadır" İfadesinin Yorumlanması:

Soruda "kartonların ikişer köşesi çakışmaktadır" ifadesi, genellikle iki dikdörtgenin karşılıklı iki köşesinin (örneğin, sol alt ve sağ üst köşelerinin) birbiriyle çakıştığı anlamına gelir. Bu durumda, iki dikdörtgenin köşegen uzunlukları birbirine eşit olmalıdır.

• 3. Kırmızı Kartonun Bilinmeyen Kenar Uzunluğunu Bulma:

Kırmızı kartonun kısa kenar uzunluğu 20 cm olarak verilmiştir. Uzun kenar uzunluğunu $x$ ile gösterelim. Kırmızı kartonun köşegen uzunluğu:

$d_{kırmızı} = \sqrt{x^2 + 20^2}$

Köşegen uzunluklarını eşitleyelim:

$10\sqrt{10} = \sqrt{x^2 + 20^2}$

Her iki tarafın karesini alalım:

$(10\sqrt{10})^2 = x^2 + 20^2$

$100 \times 10 = x^2 + 400$

$1000 = x^2 + 400$

$x^2 = 1000 - 400$

$x^2 = 600$

$x = \sqrt{600} = \sqrt{100 \times 6} = 10\sqrt{6}$ cm.

• 4. Kırmızı Kartonun Alanını Hesaplama:

Kırmızı kartonun kenar uzunlukları 20 cm ve $10\sqrt{6}$ cm'dir. Alanı, kenar uzunluklarının çarpımıdır:

$Alan = 20 \times 10\sqrt{6} = 200\sqrt{6}$ cm$^2$.

Cevap D seçeneğidir.