İki araç, bir kavşaktan farklı yönlere doğru hareket etmektedir. Araçların 2 saat sonra katettikleri mesafeleri hesaplayalım:

• 1. Aracın Katettiği Mesafe (\(d_1\)):

Hız = 50 km/saat, Süre = 2 saat

\(d_1 = \text{Hız} \times \text{Süre} = 50 \text{ km/saat} \times 2 \text{ saat} = 100 \text{ km}\)

• 2. Aracın Katettiği Mesafe (\(d_2\)):

Hız = 70 km/saat, Süre = 2 saat

\(d_2 = \text{Hız} \times \text{Süre} = 70 \text{ km/saat} \times 2 \text{ saat} = 140 \text{ km}\)

İki araç arasındaki doğrusal uzaklık (\(D\)), kavşaktaki yollar arasındaki açıya (\(\theta\)) bağlıdır. Bu uzaklığı Kosinüs Teoremi ile bulabiliriz:

\(D^2 = d_1^2 + d_2^2 - 2 d_1 d_2 \cos(\theta)\)

Burada \(\theta\), iki caddenin kesişim açısıdır ve \(0^\circ < \theta < 180^\circ\) aralığında değer alabilir. \(\cos(\theta)\) değeri ise \([-1, 1]\) aralığındadır.

• Maksimum Uzaklık (\(D_{maks}\)):

Maksimum uzaklık, \(\cos(\theta)\) en küçük değeri olan \(-1\) olduğunda (\(\theta = 180^\circ\), yani araçlar zıt yönlere hareket ettiğinde) meydana gelir.

\(D_{maks}^2 = d_1^2 + d_2^2 - 2 d_1 d_2 (-1) = d_1^2 + d_2^2 + 2 d_1 d_2 = (d_1 + d_2)^2\)

\(D_{maks} = d_1 + d_2 = 100 \text{ km} + 140 \text{ km} = 240 \text{ km}\)

• Minimum Uzaklık (\(D_{min}\)):

Minimum uzaklık, \(\cos(\theta)\) en büyük değeri olan \(1\) olduğunda (\(\theta = 0^\circ\), yani araçlar aynı doğrultuda, aynı yöne hareket ettiğinde) meydana gelir.

\(D_{min}^2 = d_1^2 + d_2^2 - 2 d_1 d_2 (1) = (d_1 - d_2)^2\)

\(D_{min} = |d_1 - d_2| = |100 \text{ km} - 140 \text{ km}| = |-40 \text{ km}| = 40 \text{ km}\)

Buna göre, 2 saat sonra araçlar arasındaki doğrusal uzaklık \(D\), \(40 \text{ km} \le D \le 240 \text{ km}\) aralığında olmalıdır.

Şimdi seçenekleri kontrol edelim:

• A) 100 km: Bu aralıktadır. (40 ≤ 100 ≤ 240)
• B) 165 km: Bu aralıktadır. (40 ≤ 165 ≤ 240)
• C) 200 km: Bu aralıktadır. (40 ≤ 200 ≤ 240)
• D) 245 km: Bu aralıkta değildir, maksimum uzaklıktan büyüktür. (245 > 240)

Bu nedenle, 245 km araçlar arasındaki uzaklık olamaz.

Cevap D seçeneğidir.