Bu soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. Verilen Uzunlukları ve Koşulları Belirleyelim:
  • Verilen yol uzunlukları: AD = 70 m, DB = 50 m, BC = 30 m.
  • Bilinmeyen yol uzunlukları: CD = x m, AB = y m.
  • Koşul 1: x ve y, 10'un tam sayı katı olan birer doğal sayıdır.
  • Koşul 2: Tüm yol uzunlukları (70, 50, 30, x, y) birbirinden farklıdır. Bu durumda:
    • x $\neq$ 30, x $\neq$ 50, x $\neq$ 70
    • y $\neq$ 30, y $\neq$ 50, y $\neq$ 70
    • x $\neq$ y
• 2. Üçgen Eşitsizliklerini Uygulayalım:

  Kavşaklar birer nokta olarak düşünüldüğünde, bu noktalar arasında oluşan üçgenlerde üçgen eşitsizliği kuralı geçerlidir. Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyüktür.

  • ADB üçgeni için: Kenarlar AD=70, DB=50, AB=y.
    • $|70 - 50| < y < 70 + 50$
    • $20 < y < 120$
  • BCD üçgeni için: Kenarlar BC=30, DB=50, CD=x.
    • $|50 - 30| < x < 50 + 30$
    • $20 < x < 80$
• 3. x ve y için Olası Değerleri Bulalım:
  • x için:
    • 10'un katı olmalı ve $20 < x < 80$ aralığında olmalı: {30, 40, 50, 60, 70}
    • 30, 50, 70 olmamalı (Koşul 2'den).
    • Bu durumda x için olası değerler: {40, 60}.
  • y için:
    • 10'un katı olmalı ve $20 < y < 120$ aralığında olmalı: {30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110}
    • 30, 50, 70 olmamalı (Koşul 2'den).
    • Bu durumda y için olası değerler: {40, 60, 80, 90, 100, 110}.
• 4. x + y Toplamının En Küçük Değerini Bulalım:

  x ve y farklı değerler almalı ($x \neq y$) ve toplamları en küçük olmalı.

  • x için en küçük değer 40'tır. Eğer x = 40 olursa, y 40 olamaz. y için {40, 60, 80, ...} kümesindeki 40'tan sonraki en küçük değer 60'tır.
    • x = 40, y = 60 $\Rightarrow$ x + y = 40 + 60 = 100.
  • x için bir sonraki en küçük değer 60'tır. Eğer x = 60 olursa, y 60 olamaz. y için {40, 60, 80, ...} kümesindeki 60'tan sonraki en küçük değer 40'tır.
    • x = 60, y = 40 $\Rightarrow$ x + y = 60 + 40 = 100.

  Her iki durumda da x + y toplamının en küçük değeri 100 olarak bulunur.

Cevap B seçeneğidir.