Verilen problemde, Ela esnemeyen bir ip kullanarak ABC üçgeninin kenar uzunluklarını ölçmüştür. İp uzunluğu sabit olup, bu uzunluğa k diyelim.

• Birinci şekilde ip A noktasından D noktasına kadar yerleştirilmiştir. Bu durumda $|AD| = k$ olur.
• İkinci şekilde ip C noktasından E noktasına kadar yerleştirilmiştir. Bu durumda $|CE| = k$ olur.
• Üçüncü şekilde ip C noktasından F noktasına kadar yerleştirilmiştir. Bu durumda $|CF| = k$ olur.

Üçgenin kenar uzunluklarını şu şekilde isimlendirelim:

• $|AB| = c$ (C açısının karşısındaki kenar)
• $|AC| = b$ (B açısının karşısındaki kenar)
• $|BC| = a$ (A açısının karşısındaki kenar)

Soruda verilen eşitsizlik $|CE| < |BD| < |AF|$ şeklindedir.

Bu eşitsizliği k ve kenar uzunlukları cinsinden ifade edelim:

• $|CE| = k$ (ikinci şekilden)
• $|BD| = |AB| - |AD| = c - k$ (birinci şekilden)
• $|AF| = |AC| - |CF| = b - k$ (üçüncü şekilden)

Bu değerleri verilen eşitsizlikte yerine yazarsak:

$k < c - k < b - k$

Bu eşitsizliği iki parçaya ayıralım:

1. $k < c - k$
   $2k < c$
2. $c - k < b - k$
   Eşitsizliğin her iki tarafına $k$ eklersek:
   $c < b$

Buradan $|AB| < |AC|$ sonucunu elde ederiz.

Bir üçgende, büyük açının karşısında büyük kenar bulunur. Dolayısıyla:

• $|AB|$ kenarının karşısındaki açı $m(\hat{C})$'dir.
• $|AC|$ kenarının karşısındaki açı $m(\hat{B})$'dir.

$c < b$ olduğundan, bu kenarların karşısındaki açılar için $m(\hat{C}) < m(\hat{B})$ ilişkisi geçerlidir.

Şimdi seçenekleri kontrol edelim:

• A) $m(\hat{A}) < m(\hat{B}) < m(\hat{C})$ (Yanlış, $m(\hat{C})$ $m(\hat{B})$'den büyük olamaz)
• B) $m(\hat{A}) < m(\hat{C}) < m(\hat{B})$ (Doğru, $m(\hat{C}) < m(\hat{B})$ koşulunu sağlar)
• C) $m(\hat{B}) < m(\hat{A}) < m(\hat{C})$ (Yanlış, $m(\hat{B})$ $m(\hat{C})$'den küçük olamaz)
• D) $m(\hat{B}) < m(\hat{C}) < m(\hat{A})$ (Yanlış, $m(\hat{B})$ $m(\hat{C})$'den küçük olamaz)

Tek tutarlı seçenek B seçeneğidir.

Cevap B seçeneğidir.