Verilen problemi adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• Bahçe ve Sulama Sistemi Analizi:
  • Bahçe, bir kenarı 12 m olan kare şeklindedir.
  • Her köşede bulunan sulama sistemleri, bulundukları köşeye en fazla 3 m uzaklıktaki alanı sulayabilir. Bu, her köşede 3 m yarıçaplı çeyrek daire şeklinde bir alanın sulandığı anlamına gelir.
• Havuzun Yerleşimi:
  • Havuz, sulama yapılmayan kısma tabanı kare olacak şekilde yerleştirilecektir.
  • Havuzun taban köşegeni ile bahçenin köşegeni çakışıktır. Bu, havuzun bahçenin tam ortasında ve kenarları bahçenin kenarlarına paralel olacak şekilde yerleştirildiği anlamına gelir.
  • Havuzun bir kenar uzunluğu (a) doğal sayı olmalıdır.
• Sulama Yapılmayan Alan Koşulu:
  • Havuzun tamamen sulama yapılmayan bölgede olması için, havuzun herhangi bir noktasının bahçe köşelerindeki sulama sistemlerine olan uzaklığı 3 metreden fazla olmalıdır.
  • Havuzun bahçe köşelerine en yakın noktaları, havuzun kendi köşeleridir. Bahçenin merkezini (6,6) kabul edersek, bir havuz köşesi (6 - a/2, 6 - a/2) olacaktır (simetri nedeniyle diğer köşeler de benzer uzaklıkta olacaktır).
  • Bu noktanın bahçenin bir köşesine (örneğin (0,0) noktasına) olan uzaklığı 3 metreden büyük olmalıdır.
• Matematiksel İfade ve Çözüm:
  • Uzaklık formülünü kullanarak:

    \(\sqrt{(6 - a/2 - 0)^2 + (6 - a/2 - 0)^2} > 3\)

    \(\sqrt{2 \cdot (6 - a/2)^2} > 3\)

    \(\sqrt{2} \cdot (6 - a/2) > 3\) (Çünkü \(a/2 < 6\), dolayısıyla \(6 - a/2\) pozitiftir)

    \(6 - a/2 > \frac{3}{\sqrt{2}}\)

    \(6 - a/2 > \frac{3\sqrt{2}}{2}\)

    \(a/2 < 6 - \frac{3\sqrt{2}}{2}\)

    \(a < 12 - 3\sqrt{2}\)

  • \(\sqrt{2} \approx 1.414\) değerini kullanarak:

    \(3\sqrt{2} \approx 3 \cdot 1.414 = 4.242\)

    \(a < 12 - 4.242\)

    \(a < 7.758\)

  • Havuzun kenar uzunluğu a doğal sayı olduğu için, a'nın alabileceği en büyük doğal sayı değeri 7'dir.
  • Havuzun kenar uzunluğu a=7 m olduğunda, havuzun taban köşegeninin uzunluğu \(a\sqrt{2}\) formülü ile bulunur.
  • Köşegen uzunluğu: \(7\sqrt{2}\) m.

Cevap B seçeneğidir.