Verilen bilgilere göre, ABC dik üçgeninde \(m(\hat{A}) = 90^\circ\) ve A köşesinden çizilen yay, AC kenarını F noktasında, AB kenarını E noktasında kesmektedir. Bu durumda, pergelin merkezi A olduğu için |AF| = |AE| olacaktır. Bu uzunluğa 'r' diyelim.
Cetvel ölçümlerine göre:
- AC kenarı üzerindeki cetvelde F noktası '0' ile, C noktası yaklaşık '3.5' ile hizalanmıştır. Bu durumda |CF| = 3.5 birimdir.
- AB kenarı üzerindeki cetvelde E noktası '0' ile, B noktası yaklaşık '1.5' ile hizalanmıştır. Bu durumda |EB| = 1.5 birimdir.
Bu bilgilere göre kenar uzunluklarını ifade edelim:
- |AC| = |AF| + |CF| = r + 3.5
- |AB| = |AE| + |EB| = r + 1.5
Şimdi verilen sıralamaları değerlendirelim:
- I. |AB| < |AC|
Yerine yazarsak: \(r + 1.5 < r + 3.5\). Bu ifade, \(1.5 < 3.5\) olduğu için doğrudur.
- II. \(m(\hat{B}) < m(\hat{C})\)
Bir üçgende, büyük kenarın karşısında büyük açı bulunur. Biz |AC| > |AB| olduğunu bulduk (çünkü \(r + 3.5 > r + 1.5\)).
|AC| kenarının karşısındaki açı \(m(\hat{B})\)'dir.
|AB| kenarının karşısındaki açı \(m(\hat{C})\)'dir.
Dolayısıyla, |AC| > |AB| olduğundan \(m(\hat{B}) > m(\hat{C})\) olmalıdır. Bu nedenle, verilen \(m(\hat{B}) < m(\hat{C})\) ifadesi yanlıştır.
- III. |AC| < |BC|
ABC dik üçgeninde \(m(\hat{A}) = 90^\circ\) olduğu için, BC kenarı hipotenüstür. Dik üçgende hipotenüs, diğer iki dik kenardan her zaman daha uzundur.
Bu nedenle, |BC| > |AC| ve |BC| > |AB| ifadeleri her zaman doğrudur. Dolayısıyla, |AC| < |BC| ifadesi doğrudur.
Sonuç olarak, I ve III numaralı sıralamalar doğrudur.
Cevap C seçeneğidir.