Verilen problemde, iki farklı üçgenin (ABC ve BDC) kenar uzunlukları verilmiştir. Bizden, BC kenarının alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamını bulmamız isteniyor.

• Adım 1: ABC üçgeni için üçgen eşitsizliğini uygulayalım.

Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır.

ABC üçgeninde AB = 13 cm ve AC = 10 cm'dir. BC kenarının uzunluğunu \(x\) ile gösterelim.

\(|AB - AC| < BC < AB + AC\)

\(|13 - 10| < x < 13 + 10\)

\(3 < x < 23\) (Eşitsizlik 1)

• Adım 2: BDC üçgeni için üçgen eşitsizliğini uygulayalım.

BDC üçgeninde BD = 6 cm ve CD = 4 cm'dir. BC kenarının uzunluğu yine \(x\)'tir.

\(|BD - CD| < BC < BD + CD\)

\(|6 - 4| < x < 6 + 4\)

\(2 < x < 10\) (Eşitsizlik 2)

• Adım 3: Her iki eşitsizliği birleştirerek BC için geçerli aralığı bulalım.

BC kenarı hem Eşitsizlik 1'i hem de Eşitsizlik 2'yi sağlamalıdır. Bu iki eşitsizliğin kesişimini almalıyız:

\(\max(3, 2) < x < \min(23, 10)\)

\(3 < x < 10\)

• Adım 4: BC'nin alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerini belirleyelim.

BC'nin uzunluğu \(x\), 3'ten büyük ve 10'dan küçük olmalıdır.

• BC'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri: 3'ten büyük ilk tam sayı 4'tür.
• BC'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri: 10'dan küçük son tam sayı 9'dur.
• Adım 5: En büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamını hesaplayalım.

Toplam = En küçük değer + En büyük değer

Toplam = \(4 + 9 = 13\)

Cevap B seçeneğidir.