Verilen soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• Adım 1: Kare kartonun kenar uzunluğunu bulma.

  Kare kartonun alanı 16 cm² olarak verilmiştir. Bir karenin alanı \(a^2\) formülüyle bulunur.
  \(a^2 = 16 \text{ cm}^2\)
  \(a = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}\)
  Yani, kare kartonun bir kenar uzunluğu 4 cm'dir.

• Adım 2: Eş dikdörtgenlerin boyutlarını belirleme.

  Kare karton, işaretli yerlerden kesilerek dört eş dikdörtgen elde edilmiştir. Şekildeki kesim deseni, 4 cm kenarlı karenin 4 eşit yatay şeride bölündüğünü göstermektedir.
  Bu durumda, her bir dikdörtgenin uzun kenarı karenin kenarı kadar (4 cm), kısa kenarı ise karenin kenarının dörtte biri kadar olacaktır.
  Kısa kenar = \(4 \text{ cm} / 4 = 1 \text{ cm}\)
  Dolayısıyla, her bir eş dikdörtgenin boyutları 4 cm x 1 cm'dir.

• Adım 3: Yeni oluşturulabilecek dikdörtgenlerin boyutlarını ve köşegen uzunluklarını hesaplama.

  Dört adet 4 cm x 1 cm boyutlarındaki dikdörtgeni birleştirerek yeni bir dikdörtgen oluşturabiliriz. Olası düzenlemeler ve köşegen uzunlukları:

  1. Dört dikdörtgeni yan yana (uzun kenarları boyunca) dizme:
     Yeni dikdörtgenin uzun kenarı: \(4 \times 4 \text{ cm} = 16 \text{ cm}\)
     Yeni dikdörtgenin kısa kenarı: \(1 \text{ cm}\)
     Köşegen uzunluğu (\(d\)): \(d = \sqrt{16^2 + 1^2} = \sqrt{256 + 1} = \sqrt{257}\)
  2. Dört dikdörtgeni üst üste (kısa kenarları boyunca) dizme:
     Yeni dikdörtgenin uzun kenarı: \(4 \text{ cm}\)
     Yeni dikdörtgenin kısa kenarı: \(4 \times 1 \text{ cm} = 4 \text{ cm}\)
     Bu bir kare oluşturur.
     Köşegen uzunluğu (\(d\)): \(d = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)
  3. İkişerli gruplar halinde dizme (2x2 düzeni):
     İki adet 4x1 dikdörtgeni uzun kenarları boyunca yan yana getirirsek 8x1 boyutunda bir dikdörtgen oluşur.
     Diğer iki 4x1 dikdörtgeni de aynı şekilde birleştirerek ikinci bir 8x1 dikdörtgen oluştururuz.
     Bu iki 8x1 dikdörtgeni kısa kenarları boyunca üst üste koyarsak:
     Yeni dikdörtgenin uzun kenarı: \(8 \text{ cm}\)
     Yeni dikdörtgenin kısa kenarı: \(1 \text{ cm} + 1 \text{ cm} = 2 \text{ cm}\)
     Köşegen uzunluğu (\(d\)): \(d = \sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68}\)
     Bu ifadeyi sadeleştirirsek: \(\sqrt{68} = \sqrt{4 \times 17} = 2\sqrt{17}\)
• Adım 4: Seçeneklerle karşılaştırma.

  Hesapladığımız olası köşegen uzunlukları: \(\sqrt{257}\), \(4\sqrt{2}\) (\(\sqrt{32}\)) ve \(2\sqrt{17}\) (\(\sqrt{68}\)).
  Seçenekleri inceleyelim:

  • A) \(2\sqrt{17} = \sqrt{4 \times 17} = \sqrt{68}\)
  • B) \(2\sqrt{13} = \sqrt{4 \times 13} = \sqrt{52}\)
  • C) \(3\sqrt{11} = \sqrt{9 \times 11} = \sqrt{99}\)
  • D) \(3\sqrt{7} = \sqrt{9 \times 7} = \sqrt{63}\)

  Oluşturduğumuz dikdörtgenlerden birinin köşegen uzunluğu \(2\sqrt{17}\) olup, bu A seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.