Soruyu çözmek için üçgen eşitsizliği kuralını kullanacağız. Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyüktür. Yani, kenarları a, b, c olan bir üçgen için:

\(|a - b| < c < a + b\)

Soruda verilen koşullar şunlardır:

• Kenan ile Metin arasındaki uzaklığın (KM) en küçük tam sayı değeri için,
• Lale ile Metin arasındaki uzaklığın (LM) en büyük tam sayı değeri 10 m olmalıdır.

Her bir seçeneği bu koşullara göre inceleyelim:

A) Seçeneği İçin:

• Kenan-Nilay (KN) = 7 m
• Nilay-Metin (NM) = 8 m
• Lale-Kenan (LK) = 6 m

1. Kenan-Metin (KM) uzaklığı için aralık bulalım (KNM üçgeni):

\(|7 - 8| < KM < 7 + 8\)

\(1 < KM < 15\)

Bu aralıktaki en küçük tam sayı değeri \(KM_{min} = 2\) m'dir.

2. Lale-Metin (LM) uzaklığı için aralık bulalım (KLM üçgeni, KM = 2 m iken):

\(|6 - 2| < LM < 6 + 2\)

\(4 < LM < 8\)

Bu aralıktaki en büyük tam sayı değeri \(LM_{max} = 7\) m'dir.

Koşulda \(LM_{max}\) değerinin 10 m olması gerektiği belirtilmiştir. \(7 \neq 10\) olduğu için A seçeneği yanlıştır.

B) Seçeneği İçin:

• Kenan-Nilay (KN) = 5 m
• Nilay-Metin (NM) = 8 m
• Lale-Kenan (LK) = 6 m

1. Kenan-Metin (KM) uzaklığı için aralık bulalım (KNM üçgeni):

\(|5 - 8| < KM < 5 + 8\)

\(3 < KM < 13\)

Bu aralıktaki en küçük tam sayı değeri \(KM_{min} = 4\) m'dir.

2. Lale-Metin (LM) uzaklığı için aralık bulalım (KLM üçgeni, KM = 4 m iken):

\(|6 - 4| < LM < 6 + 4\)

\(2 < LM < 10\)

Bu aralıktaki en büyük tam sayı değeri \(LM_{max} = 9\) m'dir.

\(9 \neq 10\) olduğu için B seçeneği yanlıştır.

C) Seçeneği İçin:

• Kenan-Nilay (KN) = 6 m
• Nilay-Metin (NM) = 9 m
• Lale-Kenan (LK) = 7 m

1. Kenan-Metin (KM) uzaklığı için aralık bulalım (KNM üçgeni):

\(|6 - 9| < KM < 6 + 9\)

\(3 < KM < 15\)

Bu aralıktaki en küçük tam sayı değeri \(KM_{min} = 4\) m'dir.

2. Lale-Metin (LM) uzaklığı için aralık bulalım (KLM üçgeni, KM = 4 m iken):

\(|7 - 4| < LM < 7 + 4\)

\(3 < LM < 11\)

Bu aralıktaki en büyük tam sayı değeri \(LM_{max} = 10\) m'dir.

Bu değer, soruda verilen koşul olan 10 m ile uyuşmaktadır. Bu nedenle C seçeneği doğrudur.

Cevap C seçeneğidir.