Verilen dikdörtgen ABCD'de, D ve B merkezli çeyrek çemberler çizilmiştir. P noktası D merkezli çeyrek çemberin BD köşegeni ile kesiştiği nokta, R noktası ise B merkezli çeyrek çemberin BD köşegeni ile kesiştiği noktadır. $|PR|$ uzunluğunu bulmamız isteniyor.

• 1. Çeyrek Çemberlerin Yarıçaplarını Bulma:
  • D merkezli çeyrek çemberin yayı F ve E noktalarından geçmektedir. Bu durumda, çeyrek çemberin yarıçapı $|DF|$ ve $|DE|$ uzunluklarına eşittir. Yani $|DF| = |DE|$.
  • B merkezli çeyrek çemberin yayı G ve H noktalarından geçmektedir. Bu durumda, çeyrek çemberin yarıçapı $|BG|$ ve $|BH|$ uzunluklarına eşittir. Yani $|BG| = |BH|$.
  • Soruda $|BH| = 2$ cm olarak verilmiştir. Dolayısıyla, B merkezli çeyrek çemberin yarıçapı $|BG| = 2$ cm'dir.
• 2. Dikdörtgenin Kenar Uzunluklarını Bulma:
  • $|AB|$ kenarının uzunluğu: $|AB| = |AG| + |GB|$. $|AG| = 6$ cm ve $|GB| = 2$ cm olduğundan, $|AB| = 6 + 2 = 8$ cm'dir.
  • Dikdörtgenin karşı kenarları eşit olduğundan, $|DC| = |AB| = 8$ cm'dir.
  • $|DC| = |DE| + |EC|$. $|EC| = 5$ cm ve $|DC| = 8$ cm olduğundan, $8 = |DE| + 5 \implies |DE| = 3$ cm'dir.
  • D merkezli çeyrek çemberin yarıçapı $|DE| = 3$ cm olduğundan, $|DF| = 3$ cm'dir.
  • $|AD|$ kenarının uzunluğu: $|AD| = |AF| + |FD|$. $|AF| = 3$ cm ve $|FD| = 3$ cm olduğundan, $|AD| = 3 + 3 = 6$ cm'dir.
  • Dikdörtgenin karşı kenarları eşit olduğundan, $|BC| = |AD| = 6$ cm'dir.
• 3. BD Köşegeninin Uzunluğunu Bulma:
  • BCD üçgeni bir dik üçgendir (C köşesi 90 derecedir). Pisagor teoremini kullanarak BD köşegeninin uzunluğunu bulabiliriz: $|BD|^2 = |BC|^2 + |DC|^2$ $|BD|^2 = 6^2 + 8^2$ $|BD|^2 = 36 + 64$ $|BD|^2 = 100$ $|BD| = \sqrt{100} = 10$ cm'dir.
• 4. $|DP|$ ve $|BR|$ Uzunluklarını Bulma:
  • P noktası, D merkezli çeyrek çemberin yayı üzerinde ve BD köşegeni üzerindedir. Bu nedenle, $|DP|$ uzunluğu D merkezli çeyrek çemberin yarıçapına eşittir. Yani $|DP| = |DE| = 3$ cm'dir.
  • R noktası, B merkezli çeyrek çemberin yayı üzerinde ve BD köşegeni üzerindedir. Bu nedenle, $|BR|$ uzunluğu B merkezli çeyrek çemberin yarıçapına eşittir. Yani $|BR| = |BG| = 2$ cm'dir.
• 5. $|PR|$ Uzunluğunu Bulma:
  • BD köşegeni üzerindeki noktalar D, P, R, B sırasıyla yer almaktadır. Bu durumda, $|BD| = |DP| + |PR| + |RB|$ eşitliği geçerlidir.
  • Değerleri yerine koyarsak: $10 = 3 + |PR| + 2$ $10 = 5 + |PR|$ $|PR| = 10 - 5$ $|PR| = 5$ cm'dir.

Cevap B seçeneğidir.