Verilen problemde, tüm kenar uzunluklarının cm cinsinden farklı doğal sayılar olduğu belirtilmiştir. $|BC|$ kenarının alabileceği farklı değerleri bulmak için üçgen eşitsizliğini kullanacağız.

• Adım 1: ABC üçgeni için üçgen eşitsizliğini uygulayalım.

Kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm olan ABC üçgeninde, $|BC|$ kenarı için üçgen eşitsizliği aşağıdaki gibidir:

$$|8 - 6| < |BC| < 8 + 6$$

$$2 < |BC| < 14$$

• Adım 2: BCD üçgeni için üçgen eşitsizliğini uygulayalım.

Kenar uzunlukları 9 cm ve 5 cm olan BCD üçgeninde, $|BC|$ kenarı için üçgen eşitsizliği aşağıdaki gibidir:

$$|9 - 5| < |BC| < 9 + 5$$

$$4 < |BC| < 14$$

• Adım 3: Her iki eşitsizliği birleştirelim.

$|BC|$ hem $2 < |BC| < 14$ hem de $4 < |BC| < 14$ koşulunu sağlamalıdır. Bu iki eşitsizliğin kesişimi:

$$4 < |BC| < 14$$

• Adım 4: Kenar uzunluklarının farklı doğal sayılar olma koşulunu uygulayalım.

$|BC|$ bir doğal sayı olmalıdır. Bu aralıktaki doğal sayılar şunlardır:

$$\{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}$$

Soruda verilen diğer kenar uzunlukları 6, 8, 9 ve 5'tir. Tüm kenar uzunlukları farklı doğal sayılar olduğu için $|BC|$ bu değerleri alamaz.

Bu nedenle, yukarıdaki kümeden 5, 6, 8 ve 9 sayılarını çıkarmalıyız.

Kalan olası $|BC|$ değerleri şunlardır:

$$\{7, 10, 11, 12, 13\}$$

• Adım 5: Farklı değerlerin sayısını bulalım.

$|BC|$ kenarı 5 farklı değer alabilir.

Cevap A seçeneğidir.