Verilen problemde, ABCD karesi ve köşegenleri Şekil I'de gösterilmiştir. Şekil II'de ise kare BD köşegeni boyunca kesilerek iki üçgene ayrılmıştır. Bizden elde edilen ABD üçgeninde [AO] segmenti ile ilgili verilen ifadelerin doğruluğunu değerlendirmemiz istenmektedir.
Bir karenin temel özelliklerini hatırlayalım:
- Karenin tüm kenarları eşittir (AB = BC = CD = DA).
- Karenin tüm iç açıları 90 derecedir.
- Karenin köşegenleri birbirini ortalar. Yani, köşegenlerin kesişim noktası O, her iki köşegenin de orta noktasıdır.
- Karenin köşegenleri birbirine diktir. Yani, $AC \perp BD$.
- Karenin köşegenleri, ait oldukları köşelerdeki açıları iki eşit parçaya böler (açıortaydır).
Şimdi ABD üçgenini inceleyelim:
ABD üçgeni, bir karenin iki kenarı (AB ve AD) ve bir köşegeni (BD) ile oluşur. Karenin kenarları eşit olduğundan, AB = AD'dir. Bu durumda, ABD üçgeni bir ikizkenar üçgendir ve A tepe açısıdır.
İkizkenar bir üçgende, tepe açısından tabana indirilen yükseklik aynı zamanda açıortay ve kenarortaydır.
Şimdi verilen ifadeleri değerlendirelim:
I. A açısına ait açıortaydır.
- Karenin köşegeni AC, A açısını iki eşit parçaya böler. Yani, $m(\angle BAC) = m(\angle DAC) = 45^\circ$.
- [AO] segmenti, AC köşegeninin bir parçasıdır.
- Dolayısıyla, [AO] segmenti ABD üçgeninde A açısının açıortayıdır.
- Bu ifade doğrudur.
II. BD kenarına ait kenarortaydır.
- Karenin köşegenleri birbirini ortalar. Bu demektir ki O noktası, BD köşegeninin orta noktasıdır.
- [AO] segmenti, A köşesinden karşı kenar BD'nin orta noktası O'ya çizilen bir doğrudur.
- Tanım gereği, bu segment ABD üçgeninde BD kenarına ait kenarortaydır.
- Bu ifade doğrudur.
III. BD kenarına ait yüksekliktir.
- Karenin köşegenleri birbirine diktir. Yani, $AC \perp BD$.
- [AO] segmenti, AC köşegeninin bir parçasıdır ve O noktası BD üzerindedir.
- Bu durumda, [AO] segmenti BD kenarına diktir.
- Tanım gereği, bu segment ABD üçgeninde BD kenarına ait yüksekliktir.
- Bu ifade doğrudur.
Tüm ifadeler doğru olduğu için, doğru seçenek I, II ve III'ü içeren seçenektir.
Cevap D seçeneğidir.