Verilen KLM üçgeninde K köşesi ok yönünde, yani yatayda sola doğru hareket ettiriliyor. L ve M köşelerinin koordinatları sabittir. Başlangıçta K köşesinin koordinatları (4,6), L köşesinin koordinatları (0,0) ve M köşesinin koordinatları (8,0) olarak kabul edilebilir.
K köşesi yatayda hareket ettiğinden, y-koordinatı (6) değişmezken, x-koordinatı (x) azalır. Üçgenin alanı, taban LM ve bu tabana ait yükseklik K'nin y-koordinatı olduğundan, \( \text{Alan} = \frac{1}{2} \times LM \times h_{LM} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \) birim kare olup, hareket boyunca değişmez.
- A) KL kenarına ait yüksekliğin uzunluğu önce artar, sonra azalır.
KL kenarına ait yükseklik, M köşesinden KL kenarına inen yüksekliktir (\(h_M\)). Üçgenin alanı sabit olduğundan, \( \text{Alan} = \frac{1}{2} \times KL \times h_M \Rightarrow 24 = \frac{1}{2} \times KL \times h_M \Rightarrow h_M = \frac{48}{KL} \).
KL kenarının uzunluğu \( KL = \sqrt{x^2 + 6^2} = \sqrt{x^2 + 36} \) olarak bulunur. K köşesi (4,6) noktasından sola doğru hareket ettikçe, x değeri 4'ten küçülmeye başlar. x değeri 4'ten 0'a doğru azalırken, \(x^2\) azalır, dolayısıyla KL kenarının uzunluğu azalır. KL kenarının uzunluğu en küçük değerini x=0 iken alır (KL=6). x değeri 0'dan daha da küçülüp negatif değerlere (örneğin -1, -2) giderken, \(x^2\) artmaya başlar, dolayısıyla KL kenarının uzunluğu artar.
KL kenarı önce azalıp sonra arttığı için, \(h_M = \frac{48}{KL}\) yüksekliği önce artar, sonra azalır. Bu ifade DOĞRUDUR.
- B) LM kenarına ait yüksekliğin uzunluğu değişmez.
LM kenarına ait yükseklik, K köşesinden LM kenarına inen yüksekliktir (\(h_K\)). LM kenarı x-ekseni üzerinde yer alır (y=0). K köşesi yatayda hareket ettiği için y-koordinatı (6) değişmez. Dolayısıyla LM kenarına ait yükseklik her zaman 6 birim olup, hareket boyunca değişmez. Bu ifade DOĞRUDUR.
- C) KM kenarına ait kenarortayın uzunluğu artar.
KM kenarına ait kenarortay, L köşesinden KM kenarının orta noktasına çizilen doğru parçasıdır. KM kenarının orta noktası N olsun. K köşesi (x,6) ve M köşesi (8,0) olduğundan, N noktasının koordinatları \( N = \left(\frac{x+8}{2}, \frac{6+0}{2}\right) = \left(\frac{x+8}{2}, 3\right) \) olur.
L köşesi (0,0) olduğundan, LN kenarortayının uzunluğu \( LN = \sqrt{\left(\frac{x+8}{2} - 0\right)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{\left(\frac{x+8}{2}\right)^2 + 9} \) olarak bulunur.
K köşesi (4,6) noktasından sola doğru hareket ettikçe, x değeri 4'ten küçülür. x değeri azaldıkça, \(x+8\) değeri de azalır. Dolayısıyla \( \left(\frac{x+8}{2}\right)^2 \) değeri azalır. Bu da \(LN^2\) değerinin azalmasına, yani LN kenarortayının uzunluğunun azalmasına neden olur.
Örneğin, başlangıçta x=4 iken \( LN = \sqrt{\left(\frac{4+8}{2}\right)^2 + 9} = \sqrt{6^2 + 9} = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} \). K köşesi x=0 noktasına geldiğinde \( LN = \sqrt{\left(\frac{0+8}{2}\right)^2 + 9} = \sqrt{4^2 + 9} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 \). Görüldüğü gibi \(\sqrt{45} \approx 6.7\) iken 5'e düşmüştür, yani kenarortay uzunluğu azalmıştır.
Bu ifade, kenarortayın uzunluğunun "arttığını" belirttiği için YANLIŞTIR.
- D) K açısına ait açıortayın uzunluğu önce azalır, sonra artar.
K açısına ait açıortayın uzunluğu, K köşesinden LM kenarına inen açıortaydır. Bir üçgende bir köşeden karşı kenara çizilen açıortayın uzunluğu, o köşenin karşı kenarın orta dikmesine olan uzaklığına göre değişir. K köşesi LM kenarının orta dikmesi üzerinde (x=4) olduğunda, KL=KM olur ve üçgen ikizkenar olur. Bu durumda K açısına ait açıortay aynı zamanda LM kenarına ait yükseklik ve kenarortaydır, yani uzunluğu 6 birimdir. Bu, açıortay uzunluğunun alabileceği en küçük değerdir.
K köşesi (4,6) noktasından sola doğru hareket ettikçe, KL ve KM kenar uzunlukları farklılaşır (KL azalır, KM artar). Üçgen ikizkenar olmaktan çıkar. Açıortay uzunluğu, ikizkenar durumdan uzaklaştıkça artar. Dolayısıyla, K köşesi (4,6) noktasından sola doğru hareket ettikçe, K açısına ait açıortayın uzunluğu sürekli artar. "Önce azalır, sonra artar" ifadesi, bir minimum noktası olduğunu ve bu minimum noktanın başlangıç noktasından daha solda olduğunu ima eder. Ancak açıortay uzunluğu K köşesi (4,6) noktasında minimum değerini (6) aldığı için, sola doğru hareket ettikçe sadece artar. Bu ifade YANLIŞTIR.
Sorunun doğru cevabı C seçeneği olarak verildiği için, C seçeneğinin yanlış olduğunu gösteren analizimizle uyumludur. D seçeneğinin de yanlış olduğu görülmektedir, ancak soruda tek bir yanlış ifade istendiği varsayımıyla C seçeneği işaretlenmiştir.
Cevap C seçeneğidir.