Masayı bir dikdörtgen olarak kabul edelim. Köşeleri D(0,0), C(90,0), B(90,b) ve A(0,b) olarak tanımlayalım. Burada masanın uzun kenarı 90 cm ve kısa kenarı 'b' cm'dir.

1. Tuzluğun Konumu İçin Eşitsizlik Oluşturma:

• Tuzluğun koordinatları S(x_S, y_S) olsun.
• Tuzluğun A köşesine uzaklığı 40 cm: $(x_S - 0)^2 + (y_S - b)^2 = 40^2 \implies x_S^2 + (y_S - b)^2 = 1600$
• Tuzluğun D köşesine uzaklığı 45 cm: $(x_S - 0)^2 + (y_S - 0)^2 = 45^2 \implies x_S^2 + y_S^2 = 2025$
• İkinci denklemden birinci denklemi çıkaralım:

  $y_S^2 - (y_S - b)^2 = 2025 - 1600$

  $y_S^2 - (y_S^2 - 2by_S + b^2) = 425$

  $2by_S - b^2 = 425 \implies y_S = \frac{425 + b^2}{2b}$

• $y_S$ değerini $x_S^2 + y_S^2 = 2025$ denklemine yerine koyalım:

  $x_S^2 = 2025 - y_S^2 = 2025 - \left(\frac{425 + b^2}{2b}\right)^2$

• Bir noktanın koordinatları reel sayı olmalı, dolayısıyla $x_S^2 \ge 0$ olmalıdır:

  $2025 \ge \left(\frac{425 + b^2}{2b}\right)^2$

  $45^2 \ge \left(\frac{425 + b^2}{2b}\right)^2$

  $45 \ge \frac{425 + b^2}{2b}$ (b > 0 olduğu için)

  $90b \ge 425 + b^2$

  $b^2 - 90b + 425 \le 0$

• Bu eşitsizliğin köklerini bulalım: $b^2 - 90b + 425 = 0$

  $b = \frac{90 \pm \sqrt{(-90)^2 - 4(1)(425)}}{2} = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 1700}}{2} = \frac{90 \pm \sqrt{6400}}{2} = \frac{90 \pm 80}{2}$

  $b_1 = \frac{90 - 80}{2} = 5$ ve $b_2 = \frac{90 + 80}{2} = 85$

• Dolayısıyla, tuzluğun konumu için $5 \le b \le 85$ olmalıdır.

2. Su Şişesinin Konumu İçin Eşitsizlik Oluşturma:

• Su şişesinin koordinatları W(x_W, y_W) olsun.
• Su şişesinin B köşesine uzaklığı 40 cm: $(x_W - 90)^2 + (y_W - b)^2 = 40^2 \implies (x_W - 90)^2 + (y_W - b)^2 = 1600$
• Su şişesinin C köşesine uzaklığı 60 cm: $(x_W - 90)^2 + (y_W - 0)^2 = 60^2 \implies (x_W - 90)^2 + y_W^2 = 3600$
• İkinci denklemden birinci denklemi çıkaralım:

  $y_W^2 - (y_W - b)^2 = 3600 - 1600$

  $y_W^2 - (y_W^2 - 2by_W + b^2) = 2000$

  $2by_W - b^2 = 2000 \implies y_W = \frac{2000 + b^2}{2b}$

• $y_W$ değerini $(x_W - 90)^2 + y_W^2 = 3600$ denklemine yerine koyalım:

  $(x_W - 90)^2 = 3600 - y_W^2 = 3600 - \left(\frac{2000 + b^2}{2b}\right)^2$

• Bir noktanın koordinatları reel sayı olmalı, dolayısıyla $(x_W - 90)^2 \ge 0$ olmalıdır:

  $3600 \ge \left(\frac{2000 + b^2}{2b}\right)^2$

  $60^2 \ge \left(\frac{2000 + b^2}{2b}\right)^2$

  $60 \ge \frac{2000 + b^2}{2b}$ (b > 0 olduğu için)

  $120b \ge 2000 + b^2$

  $b^2 - 120b + 2000 \le 0$

• Bu eşitsizliğin köklerini bulalım: $b^2 - 120b + 2000 = 0$

  $b = \frac{120 \pm \sqrt{(-120)^2 - 4(1)(2000)}}{2} = \frac{120 \pm \sqrt{14400 - 8000}}{2} = \frac{120 \pm \sqrt{6400}}{2} = \frac{120 \pm 80}{2}$

  $b_3 = \frac{120 - 80}{2} = 20$ ve $b_4 = \frac{120 + 80}{2} = 100$

• Dolayısıyla, su şişesinin konumu için $20 \le b \le 100$ olmalıdır.

3. 'b' Kenar Uzunluğu İçin Ortak Aralık:

• Her iki cismin de masanın üzerinde bulunabilmesi için 'b' değeri her iki eşitsizliği de sağlamalıdır:
  • $5 \le b \le 85$
  • $20 \le b \le 100$
• Bu iki aralığın kesişimi $20 \le b \le 85$ olur.

4. Masanın Alanını Hesaplama:

• Masanın uzun kenarı 90 cm, kısa kenarı 'b' cm'dir.
• Masanın alanı $A = 90 \times b$ olacaktır.
• 'b' için bulduğumuz aralığı kullanarak alanın aralığını bulalım:
  • Minimum alan: $90 \times 20 = 1800 \text{ cm}^2$
  • Maksimum alan: $90 \times 85 = 7650 \text{ cm}^2$
• Masanın alanı $1800 \text{ cm}^2$ ile $7650 \text{ cm}^2$ arasında olmalıdır.

5. Seçenekleri Kontrol Etme:

• A) $900 \text{ cm}^2$ (Aralığın dışında)
• B) $5400 \text{ cm}^2$ (Aralığın içinde: $1800 \le 5400 \le 7650$)
• C) $8100 \text{ cm}^2$ (Aralığın dışında)
• D) $10800 \text{ cm}^2$ (Aralığın dışında)

Verilen seçeneklerden sadece B seçeneği bu aralığa uymaktadır.