Sorunun Çözümü
- Paralelkenarın kenar uzunlukları $a = 20$ m ve $b = 10$ m'dir.
- Bir paralelkenarda, herhangi bir köşegenin uzunluğu, iki kenarın farkının mutlak değeri ile toplamı arasında olmalıdır. Yani, $|a-b| < d < a+b$.
- Bu durumda, $|20-10| < d < 20+10 \implies 10 < d < 30$ m. Bu aralık, hem kısa hem de uzun köşegen için geçerlidir.
- Uzun köşegenin ($d_U$) uzunluğunu bulmak için kosinüs teoremini kullanırız. Paralelkenarın bir açısı $\alpha$ olsun. Uzun köşegenin karesi $d_U^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^\circ - \alpha)$ veya $d_U^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos\alpha$ (burada $\alpha$ dar açı ise) formülüyle bulunur.
- $d_U^2 = 20^2 + 10^2 + 2(20)(10) \cos\alpha = 400 + 100 + 400 \cos\alpha = 500 + 400 \cos\alpha$.
- Bir paralelkenarda $\alpha$ açısı $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ aralığındadır. Uzun köşegen için $\alpha$ dar açı ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) olarak kabul edildiğinde $0 < \cos\alpha < 1$ olur.
- $\cos\alpha \to 0$ iken $d_U^2 \to 500 \implies d_U \to \sqrt{500} = 10\sqrt{5}$ m.
- $\cos\alpha \to 1$ iken $d_U^2 \to 500 + 400 = 900 \implies d_U \to \sqrt{900} = 30$ m.
- Dolayısıyla, uzun köşegenin uzunluğu $10\sqrt{5} < d_U < 30$ m aralığında olmalıdır.
- $10\sqrt{5} \approx 10 \times 2.236 = 22.36$ m olduğundan, uzun köşegenin aralığı yaklaşık olarak $22.36 < d_U < 30$ m'dir.
- Verilen seçenekleri bu aralıkla karşılaştıralım:
- I. $22$ m: $22 < 22.36$ olduğu için bu değer olamaz.
- II. $28$ m: $22.36 < 28 < 30$ olduğu için bu değer olabilir.
- III. $30$ m: $d_U < 30$ olduğu için $30$ m olamaz (eşitlik durumu dejenere paralelkenar için geçerlidir).
- Bu durumda, sadece $28$ m uzun köşegenin olası bir değeridir.
- Doğru Seçenek B'dır.