Sorunun Çözümü
- Üçgenin kenar uzunlukları $a=5 cm$ ve $b=12 cm$ olarak verilmiştir. Bu iki kenar arasındaki açı $\theta$ için $\theta > 90^\circ$ koşulu bulunmaktadır.
- Üçüncü kenarın uzunluğuna $c$ diyelim. Kosinüs Teoremi'ne göre $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\theta$ formülü kullanılır.
- Verilen değerleri yerine koyarsak: $c^2 = 5^2 + 12^2 - 2(5)(12) \cos\theta = 25 + 144 - 120 \cos\theta = 169 - 120 \cos\theta$.
- Açı $\theta > 90^\circ$ olduğu için $\cos\theta$ değeri negatiftir. Bir üçgenin iç açısı $180^\circ$'den küçük olacağından $90^\circ < \theta < 180^\circ$ aralığındadır. Bu durumda $-1 < \cos\theta < 0$ olur.
- Bu aralığı $c^2$ denklemine uygulayalım:
- $\cos\theta \to 0^-$ iken (yani $\theta \to 90^\circ$), $c^2 \to 169 - 120(0) = 169$, dolayısıyla $c \to 13$.
- $\cos\theta \to -1^+$ iken (yani $\theta \to 180^\circ$), $c^2 \to 169 - 120(-1) = 169 + 120 = 289$, dolayısıyla $c \to 17$.
- Bu durumda üçüncü kenar $c$ için $13 < c < 17$ eşitsizliği elde edilir.
- Soruda kenar uzunluklarının doğal sayı olduğu belirtilmiştir. $13 < c < 17$ aralığındaki doğal sayılar $14, 15, 16$'dır.
- Üçgenin kenarları $5 cm$, $12 cm$ ve $c cm$'dir. $c > 13$ olduğu için $c$ kenarı en uzun kenardır.
- En uzun kenarın uzunluğunun en az kaç $cm$ olabileceği sorulduğu için $c$'nin alabileceği en küçük doğal sayı değeri $14$'tür.
- Üçgen eşitsizliğini kontrol edelim: $5+12 > 14 \implies 17 > 14$ (doğru). Diğer eşitsizlikler de sağlanır.
- Doğru Seçenek D'dır.