Sorunun Çözümü
Verilen bilgilere göre zarfın açık ve kapalı durumlarını inceleyelim:
- Kapalı Durum (Sol Resim):
- Zarfın ön yüzü bir dikdörtgendir (C A B E).
- Bu dikdörtgenin alanı 160 cm² olarak verilmiştir.
- Dikdörtgenin genişliğini \(w = |AB|\) ve yüksekliğini \(h = |AC|\) olarak adlandıralım.
- Bu durumda, \(w \cdot h = 160\) cm².
- Katlanmış zarfın ucu olan D noktası, alt kenar CE'den 4 cm yüksekliktedir.
- Bu durumda, D noktasının AB kenarına olan dik uzaklığı \(h - 4\) cm'dir. Bu, katlanmış kapağın yüksekliğidir.
- AD ve BD üzerindeki çift çizgiler, \(|AD| = |BD|\) olduğunu gösterir. Bu, kapağın ikizkenar üçgen şeklinde olduğunu ve D noktasının AB kenarının orta noktasının üzerinde olduğunu belirtir.
- Açık Durum (Sağ Resim):
- Zarf tamamen açıldığında, D noktası zarfın orijinal üst kenarını temsil eder.
- CE kenarından D noktasına olan toplam yükseklik 16 cm'dir.
- Bu toplam yükseklik, dikdörtgenin yüksekliği \(h\) ile açılmış kapağın yüksekliğinin toplamıdır.
- Açılmış kapağın yüksekliğini \(y\) olarak adlandıralım.
- Bu durumda, \(h + y = 16\) cm.
Şimdi bu bilgileri kullanarak \(|BD|\) uzunluğunu bulalım:
- Kapağın Yüksekliği: Kapağın (üçgenin) yüksekliği, katlandığında da açıldığında da aynıdır. Yani, katlanmış kapağın yüksekliği (\(h - 4\)) ile açılmış kapağın yüksekliği (\(y\)) birbirine eşittir:
- \(y = h - 4\)
- Dikdörtgenin Yüksekliğini Bulma: Açık durumdaki yükseklik denklemini kullanarak \(h\)'yi bulalım:
- \(h + y = 16\)
- \(h + (h - 4) = 16\)
- \(2h - 4 = 16\)
- \(2h = 20\)
- \(h = 10\) cm
- Dikdörtgenin Genişliğini Bulma: Dikdörtgenin alanını kullanarak \(w\)'yi bulalım:
- \(w \cdot h = 160\)
- \(w \cdot 10 = 160\)
- \(w = 16\) cm
- Kapağın Yüksekliğini (y) Bulma:
- \(y = h - 4 = 10 - 4 = 6\) cm
- \(|BD|\) Uzunluğunu Bulma: Kapak, tabanı \(w\) olan ve yüksekliği \(y\) olan bir ikizkenar üçgendir. \(|BD|\) bu üçgenin kenar uzunluğudur. Pisagor teoremini kullanarak \(|BD|\)'yi bulabiliriz. Kapağın yüksekliği \(y\), tabanın yarısı (\(w/2\)) ve \(|BD|\) bir dik üçgen oluşturur:
- \(|BD|^2 = (w/2)^2 + y^2\)
- \(|BD|^2 = (16/2)^2 + 6^2\)
- \(|BD|^2 = 8^2 + 6^2\)
- \(|BD|^2 = 64 + 36\)
- \(|BD|^2 = 100\)
- \(|BD| = 10\) cm
Cevap C seçeneğidir.