Verilen üçgenin kenar uzunlukları $|AB|=5$ cm, $|BC|=12$ cm ve $|AC|>13$ cm'dir. m($\hat{B}$) açısının kaç derece olabileceği sorulmaktadır.

• Üçgende Kosinüs Teoremi'ni kullanarak $|AC|$ kenarını m($\hat{B}$) açısı cinsinden ifade edelim: $$|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(\hat{B})$$
• Verilen değerleri yerine yazalım: $$|AC|^2 = 5^2 + 12^2 - 2 \cdot 5 \cdot 12 \cdot \cos(\hat{B})$$ $$|AC|^2 = 25 + 144 - 120 \cdot \cos(\hat{B})$$ $$|AC|^2 = 169 - 120 \cdot \cos(\hat{B})$$
• Soruda verilen $|AC| > 13$ cm eşitsizliğini kullanalım. Her iki tarafın karesini alırsak: $$|AC|^2 > 13^2$$ $$|AC|^2 > 169$$
• Şimdi Kosinüs Teoremi'nden bulduğumuz ifadeyi bu eşitsizlikte yerine koyalım: $$169 - 120 \cdot \cos(\hat{B}) > 169$$
• Eşitsizliği $\cos(\hat{B})$ için çözelim: $$-120 \cdot \cos(\hat{B}) > 0$$ Eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayı olan $-120$'ye böldüğümüzde eşitsizlik yön değiştirir: $$\cos(\hat{B}) < 0$$
• Bir üçgende bir açının kosinüsü negatif ise, o açı geniş açıdır. Yani $90^\circ < \hat{B} < 180^\circ$ olmalıdır.
• Seçeneklere baktığımızda:
  • A) 75° (Dar açı)
  • B) 85° (Dar açı)
  • C) 90° (Dik açı, $\cos(90^\circ)=0$)
  • D) 95° (Geniş açı, $90^\circ < 95^\circ < 180^\circ$)
• Bu durumda, m($\hat{B}$) açısı 95° olabilir.

Cevap D seçeneğidir.