Verilen bilgilere göre, ABC bir dik üçgendir ve A köşesinde dik açı bulunmaktadır ($[BA] \perp [AC]$). Ayrıca, $|AB| = 10\sqrt{2}$ cm ve $m(\widehat{ABC}) = 45^\circ$ olarak verilmiştir. Bizden $|BC|$ uzunluğunu bulmamız istenmektedir.
- Üçgenin Açılarını Belirleme:
Bir dik üçgende, dik açı $90^\circ$'dir. $m(\widehat{A}) = 90^\circ$.
Verilen açı $m(\widehat{B}) = 45^\circ$.
Üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan, üçüncü açı $m(\widehat{C})$ şu şekilde bulunur:
$$m(\widehat{C}) = 180^\circ - m(\widehat{A}) - m(\widehat{B})$$
$$m(\widehat{C}) = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ$$
$$m(\widehat{C}) = 45^\circ$$
Buna göre, ABC üçgeni bir 45-45-90 özel dik üçgenidir.
- Kenar Uzunluklarını Belirleme:
45-45-90 üçgeninde, $45^\circ$'lik açıların karşısındaki kenarlar birbirine eşittir. Bu durumda, $|AB| = |AC|$ olur.
Verilen bilgiye göre $|AB| = 10\sqrt{2}$ cm olduğundan, $|AC| = 10\sqrt{2}$ cm'dir.
- Hipotenüsü Hesaplama (BC):
45-45-90 üçgeninde, hipotenüs (90 derecenin karşısındaki kenar) dik kenarların $\sqrt{2}$ katıdır. Yani, hipotenüs $= \text{dik kenar} \times \sqrt{2}$.
Burada dik kenarlar $|AB|$ veya $|AC|$'dir.
$$|BC| = |AB| \times \sqrt{2}$$
$$|BC| = (10\sqrt{2}) \times \sqrt{2}$$
$$|BC| = 10 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2})$$
$$|BC| = 10 \times 2$$
$$|BC| = 20 \text{ cm}$$
Alternatif olarak, trigonometrik oranları kullanabiliriz:
Bir dik üçgende, bir açının kosinüsü, komşu dik kenarın hipotenüse oranına eşittir.
$$\cos(B) = \frac{\text{Komşu Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{|AB|}{|BC|}$$
$$\cos(45^\circ) = \frac{10\sqrt{2}}{|BC|}$$
$\cos(45^\circ)$ değeri $\frac{\sqrt{2}}{2}$'dir.
$$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{|BC|}$$
İçler dışlar çarpımı yaparak veya her iki tarafı $\sqrt{2}$ ile bölerek:
$$\sqrt{2} \cdot |BC| = 2 \cdot 10\sqrt{2}$$
$$\sqrt{2} \cdot |BC| = 20\sqrt{2}$$
Her iki tarafı $\sqrt{2}$'ye bölersek:
$$|BC| = 20 \text{ cm}$$
Cevap A seçeneğidir.