Verilen üçgen NZM'de, |NZ| = |NL| = 13 cm, |ZL| = 10 cm ve |NM| = 20 cm bilgileri bulunmaktadır. Bizden |LM| uzunluğunu bulmamız isteniyor.
-
Adım 1: Üçgen NZL'de Kosinüs Teoremi Uygulama
NZL üçgeninde |NZ| = |NL| = 13 cm olduğu için bu bir ikizkenar üçgendir. Z açısının kosinüsünü bulmak için Kosinüs Teoremi'ni kullanırız:
\(NL^2 = NZ^2 + ZL^2 - 2 \cdot NZ \cdot ZL \cdot \cos(\angle NZL)\)
\(13^2 = 13^2 + 10^2 - 2 \cdot 13 \cdot 10 \cdot \cos(\angle NZL)\)
\(169 = 169 + 100 - 260 \cdot \cos(\angle NZL)\)
\(0 = 100 - 260 \cdot \cos(\angle NZL)\)
\(260 \cdot \cos(\angle NZL) = 100\)
\(\cos(\angle NZL) = \frac{100}{260} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}\)
-
Adım 2: Üçgen NZM'de Kosinüs Teoremi Uygulama
Şimdi büyük üçgen NZM'de Kosinüs Teoremi'ni uygulayalım. |LM| = x diyelim. Bu durumda |ZM| = |ZL| + |LM| = 10 + x olur. Ayrıca \(\angle NZM = \angle NZL\) olduğu için \(\cos(\angle NZM) = \frac{5}{13}\) değerini kullanabiliriz.
\(NM^2 = NZ^2 + ZM^2 - 2 \cdot NZ \cdot ZM \cdot \cos(\angle NZM)\)
\(20^2 = 13^2 + (10+x)^2 - 2 \cdot 13 \cdot (10+x) \cdot \frac{5}{13}\)
\(400 = 169 + (10+x)^2 - 2 \cdot (10+x) \cdot 5\)
\(400 = 169 + (100 + 20x + x^2) - 10 \cdot (10+x)\)
\(400 = 169 + 100 + 20x + x^2 - 100 - 10x\)
\(400 = 169 + 10x + x^2\)
-
Adım 3: Denklemi Çözme
Denklemi düzenleyerek bir ikinci dereceden denklem elde ederiz:
\(x^2 + 10x + 169 - 400 = 0\)
\(x^2 + 10x - 231 = 0\)
Bu denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Çarpımları -231 ve toplamları 10 olan iki sayı 21 ve -11'dir:
\((x + 21)(x - 11) = 0\)
Buradan iki olası çözüm çıkar: \(x = -21\) veya \(x = 11\). Uzunluk negatif olamayacağı için \(x = 11\) cm olmalıdır.
Buna göre, |LM| = 11 cm'dir.
Cevap C seçeneğidir.