Sorunun Çözümü
- Bahçenin kenar uzunluğu $6 m$ olduğundan, köşegen uzunluğu $D_B = 6\sqrt{2} m$'dir. Bahçenin merkezi orijin $(0,0)$ kabul edilsin.
- Sulama sistemi orijinde bulunur ve en fazla $2 m$ yarıçaplı dairesel bir alanı sular. Sulama yapılmayan kısım, orijine uzaklığı $r > 2 m$ olan bölgedir.
- Oyun alanı kare şeklindedir ve sulanmayan kısımda yer alacaktır. Bu, oyun alanının tüm noktalarının orijine $2 m$'den daha uzak olması gerektiği anlamına gelir.
- "Oyun alanının köşegeni bahçenin köşegeni ile çakışıktır." ifadesi, oyun alanının bir köşegeninin bahçenin bir köşegeni üzerinde bir doğru parçası olduğu anlamına gelir. Bahçenin köşegenleri $y=x$ ve $y=-x$ doğruları üzerindedir.
- Oyun alanı sulanmayan kısımda olacağından, oyun alanının köşegeni orijini içermemelidir. Aksi takdirde, oyun alanının merkezi sulanmış olur.
- Oyun alanının köşegeni $y=x$ doğrusu üzerinde ve uç noktaları $(x_1, x_1)$ ve $(x_2, x_2)$ olsun. Orijini içermediği için, ya $0 < x_1 < x_2$ ya da $x_1 < x_2 < 0$ olmalıdır. Genelliği bozmadan $0 < x_1 < x_2$ kabul edelim.
- Oyun alanının orijine en yakın noktası $(x_1, x_1)$'dir. Bu noktanın orijine uzaklığı $x_1\sqrt{2}$'dir. Bu uzaklık $2 m$'den büyük olmalıdır: $x_1\sqrt{2} > 2 \implies x_1 > \sqrt{2}$.
- Oyun alanı bahçenin içinde olmalıdır. Bahçenin köşegeni $y=x$ üzerinde $(-3, -3)$ ile $(3, 3)$ arasındadır. Bu nedenle $x_2 \le 3$ olmalıdır.
- Böylece, oyun alanının köşegeninin uç noktaları için $\sqrt{2} < x_1 < x_2 \le 3$ koşulu sağlanır.
- Oyun alanının köşegen uzunluğu $d_O = (x_2-x_1)\sqrt{2}$'dir. $d_O$ bir doğal sayı olmalıdır.
- $x_2-x_1$ farkının alabileceği en büyük değer $3 - \sqrt{2}$'dir. Bu durumda $d_O < (3-\sqrt{2})\sqrt{2} = 3\sqrt{2} - 2$.
- $\sqrt{2} \approx 1.414$ olduğundan, $3\sqrt{2} - 2 \approx 3 \times 1.414 - 2 = 4.242 - 2 = 2.242$.
- Yani, $d_O < 2.242$. $d_O$ bir doğal sayı olduğundan, alabileceği en büyük değer $2$'dir.
- Karenin alanı $A = d^2/2$ formülüyle bulunur. Oyun alanının alanının en fazla olması için köşegen uzunluğu $d_O = 2 m$ seçilir.
- Oyun alanının alanı $A_O = 2^2/2 = 4/2 = 2 m^2$'dir.
- Doğru Seçenek A'dır.