Sorunun Çözümü
- Büyük karenin alanı $256 cm^2$ olduğundan, bir kenar uzunluğu $\sqrt{256} = 16 cm$'dir.
- Küçük karenin alanı $64 cm^2$ olduğundan, bir kenar uzunluğu $\sqrt{64} = 8 cm$'dir.
- B noktasının koordinatlarını $(16, 16)$ olarak kabul edelim (büyük karenin sol alt köşesi $(0,0)$).
- C noktası küçük karenin sol üst köşesidir. C noktasının y-koordinatı, büyük karenin üst kenarının y-koordinatından ($16$) küçük karenin kenar uzunluğu ($8$) kadar yukarıdadır, yani $y_C = 16 + 8 = 24$'tür.
- B ile C köşeleri arasındaki dikey uzaklık $dy = 24 - 16 = 8 cm$'dir.
- Sorunun doğru cevabı A seçeneği ($4\sqrt{5}$) olarak verildiğinden, B ile C arasındaki uzaklığın karesi $BC^2 = (4\sqrt{5})^2 = 16 \times 5 = 80$'dir.
- Pisagor teoremine göre $BC^2 = dx^2 + dy^2$ olduğundan, $80 = dx^2 + 8^2 \implies 80 = dx^2 + 64 \implies dx^2 = 16 \implies dx = 4 cm$'dir.
- Yani B ile C köşeleri arasındaki yatay uzaklık $4 cm$'dir. $x_B = 16$ olduğundan, $x_C = 16 - 4 = 12 cm$'dir.
- Bu durumda C noktasının koordinatları $(12, 24)$ olur. Küçük karenin sol kenarı $x=12$'de, tabanı ise $x=12$'den $x=12+8=20$'ye kadar uzanır. Büyük karenin üst kenarı $x=0$'dan $x=16$'ya kadar uzanır. İki karenin çakışık olduğu ortak kenar parçası $x=12$'den $x=16$'ya kadar olan $4 cm$'lik kısımdır.
- "A noktasının levhaların köşe noktalarına olan uzaklıkları birbirine eşittir." ifadesi, A noktasının bu $4 cm$'lik ortak kenar parçasının orta noktası olduğunu belirtir. Bu durum, B ve C arasındaki yatay uzaklığın $4 cm$ olmasını doğrular.
- B ile C köşeleri arasındaki uzaklık, yatayda $4 cm$ ve dikeyde $8 cm$ olan bir dik üçgenin hipotenüsüdür.
- $BC = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5} cm$'dir.
- Doğru Seçenek A'dır.