Sorunun Çözümü
- $\triangle ABC$ üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulayarak $\cos(\angle ACB)$ değerini bulalım.
- $|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2|AC||BC|\cos(\angle ACB)$
- $10^2 = 10^2 + 12^2 - 2(10)(12)\cos(\angle ACB)$
- $100 = 100 + 144 - 240\cos(\angle ACB)$
- $0 = 144 - 240\cos(\angle ACB)$
- $240\cos(\angle ACB) = 144 \implies \cos(\angle ACB) = \frac{144}{240} = \frac{3}{5}$
- B, C, D noktaları doğrusal olduğundan, $\angle ACB$ ve $\angle ACD$ bütünler açılardır.
- Bu durumda $\cos(\angle ACD) = -\cos(\angle ACB) = -\frac{3}{5}$
- Şimdi $\triangle ACD$ üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulayarak $|CD|$ uzunluğunu bulalım. $|CD| = x$ olsun.
- $|AD|^2 = |AC|^2 + |CD|^2 - 2|AC||CD|\cos(\angle ACD)$
- $17^2 = 10^2 + x^2 - 2(10)(x)(-\frac{3}{5})$
- $289 = 100 + x^2 + 12x$
- $x^2 + 12x - 189 = 0$
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım: $(x+21)(x-9) = 0$
- Denklemin kökleri $x = -21$ veya $x = 9$
- Uzunluk negatif olamayacağından, $|CD| = 9 cm$
- Doğru Seçenek D'dır.