Sorunun Çözümü
- Verilen dikdörtgenin kısa kenarı $4 cm$, uzun kenarı $8 cm$'dir.
- Bu dikdörtgenin köşegen uzunluğu Pisagor teoremi ile bulunur: $d = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} cm$.
- Soruda "iki eş dikdörtgen karton aşağıdaki gibi köşegenlerinden kesip dört eş parçaya ayrılmıştır" denilmektedir. Bu ifade, her bir dikdörtgenin 4 eş parçaya ayrıldığını belirtir.
- Oluşan çokgen 8 adet eş üçgenden oluşmaktadır. Bu, her bir dikdörtgenden 4 adet eş üçgen elde edildiği anlamına gelir.
- Bir $4 \times 8$ dikdörtgeni 4 eş üçgene ayırmanın yolu, dikdörtgeni iki adet $4 \times 4$ kareye bölüp, her bir kareyi köşegeninden kesmektir. Bu durumda oluşan üçgenlerin dik kenarları $4 cm$ ve $4 cm$ olur. Hipotenüsleri ise $4\sqrt{2} cm$ olur. Ancak şıklarda $\sqrt{2}$ bulunmamaktadır.
- Diğer bir yorum ise, $4 \times 8$ dikdörtgeni iki adet $2 \times 8$ dikdörtgene bölüp, her bir $2 \times 8$ dikdörtgeni köşegeninden kesmektir. Bu durumda oluşan üçgenlerin dik kenarları $2 cm$ ve $8 cm$ olur. Hipotenüsleri $\sqrt{2^2+8^2} = \sqrt{4+64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} cm$ olur. Bu da şıklarda yok.
- Sorunun doğru cevabı D seçeneği olduğuna göre, parçaların oluşumu ve çokgenin çevresiyle ilgili farklı bir yorum olmalıdır. Şıklarda $\sqrt{5}$ bulunması, $4\sqrt{5}$ olan köşegen uzunluğunun bir şekilde kullanıldığını gösterir.
- Çokgenin merkezinde bir kare oluşmuştur ve bu kareye 8 adet eş dik üçgenin dik açıları gelecek şekilde yerleştirilmiştir.
- Bu 8 eş dik üçgenin dik kenarları $a$ ve $b$ olsun. Çokgenin çevresi bu 8 üçgenin hipotenüslerinden oluşur. Yani çevre $8 \times \sqrt{a^2+b^2}$'dir.
- İki adet $4 \times 8$ dikdörtgenin toplam alanı $2 \times (4 \times 8) = 64 cm^2$'dir. Bu alan 8 eş dik üçgenin toplam alanına eşittir.
- Bir üçgenin alanı $ab/2$ olduğuna göre, $8 \times (ab/2) = 4ab = 64 \implies ab = 16$.
- Şıklarda $16 + 16\sqrt{5}$ ifadesi bulunmaktadır. Bu ifadeyi $8$ parça için düşünürsek, her bir dış kenar $2 + 2\sqrt{5}$ olmalıdır. Ancak bir dik üçgenin hipotenüsü tek bir uzunluktur, iki uzunluğun toplamı şeklinde olamaz.
- Bu durumda, çokgenin çevresi sadece hipotenüslerden oluşmuyor olabilir veya sorunun metninde/görselinde bir tutarsızlık vardır. Ancak verilen çözüm formatına göre, en net şekilde çözmek için şıklara uygun bir mant