Sorunun Çözümü
Verilen bilgilere göre, \([AB] \perp [BD]\) olduğu için \(\triangle ABD\) bir dik üçgendir. Bu üçgende \(\angle B = 90^\circ\)'dir.
- 1. Kenar uzunluklarını belirleyelim:
\(|AB| = |BC|\)olduğu verilmiş. Bu uzunluğa\(x\)diyelim. Yani,\(|AB| = x\)ve\(|BC| = x\).\(|DC| = 7\)cm olarak verilmiş.\(|BD|\)uzunluğu,\(|BC| + |CD|\)olduğundan,\(|BD| = x + 7\)cm olur.\(|AD| = 17\)cm olarak verilmiş.- 2. Pisagor Teoremi'ni uygulayalım:
\(\triangle ABD\)dik üçgeninde Pisagor Teoremi'ni kullanarak\(x\)değerini bulabiliriz:\(|AB|^2 + |BD|^2 = |AD|^2\)\(x^2 + (x+7)^2 = 17^2\)\(x^2 + (x^2 + 14x + 49) = 289\)\(2x^2 + 14x + 49 - 289 = 0\)\(2x^2 + 14x - 240 = 0\)- Her tarafı 2'ye bölelim:
\(x^2 + 7x - 120 = 0\) - 3.
\(x\)değerini bulalım: - Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları -120, toplamları 7 olan iki sayı 15 ve -8'dir.
\((x+15)(x-8) = 0\)- Buradan
\(x = -15\)veya\(x = 8\)bulunur. Uzunluk negatif olamayacağı için\(x = 8\)cm'dir. - 4. Gerekli kenar uzunluklarını hesaplayalım:
\(|AB| = x = 8\)cm.\(|DC| = 7\)cm.- 5.
\(\triangle ADC\)üçgeninin alanını hesaplayalım: \(\triangle ADC\)üçgeninin tabanı\(|DC|\)ve bu tabana ait yüksekliği\(|AB|\)'dir (çünkü\([AB] \perp [BD]\)ve\(C\)noktası\([BD]\)üzerindedir).- Alan formülü:
\(\text{Alan} = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}\) \(\text{Alan}(\triangle ADC) = \frac{1}{2} \times |DC| \times |AB|\)\(\text{Alan}(\triangle ADC) = \frac{1}{2} \times 7 \times 8\)\(\text{Alan}(\triangle ADC) = \frac{1}{2} \times 56\)\(\text{Alan}(\triangle ADC) = 28\)cm².
Cevap B seçeneğidir.