Sorunun Çözümü
- Dikdörtgenin alt sol köşesi $(0,0)$ olsun. Kısa kenar uzunluğu $x$ olsun.
- Katlama sonucunda alt sol köşe, üst kenar üzerindeki bir noktaya, $P'=(k,x)$ noktasına gelir.
- Katlama çizgisi alt kenarı $(10,0)$ noktasında, sol kenarı ise $(0, x-15)$ noktasında keser. Bu noktalar sırasıyla $E$ ve $F$ olsun.
- Katlama özelliği gereği, katlanan köşe $P_0=(0,0)$ ile $E$ arasındaki mesafe, $P'$ ile $E$ arasındaki mesafeye eşittir. Yani $P_0E = P'E = 10 cm$.
- Pisagor teoremini kullanarak $P'E$ mesafesini yazalım: $(k-10)^2 + (x-0)^2 = 10^2 \implies (k-10)^2 + x^2 = 100$. (Denklem 1)
- Benzer şekilde, $P_0F = P'F = x-15 cm$.
- Pisagor teoremini kullanarak $P'F$ mesafesini yazalım: $(k-0)^2 + (x-(x-15))^2 = (x-15)^2 \implies k^2 + 15^2 = (x-15)^2 \implies k^2 + 225 = (x-15)^2$. (Denklem 2)
- Denklem 2'den $k^2 = (x-15)^2 - 225$ elde ederiz.
- Denklem 1'i açalım: $k^2 - 20k + 100 + x^2 = 100 \implies k^2 - 20k + x^2 = 0$.
- $k^2$ ifadesini bu denkleme yerine koyalım: $(x-15)^2 - 225 - 20k + x^2 = 0$.
- $x^2 - 30x + 225 - 225 - 20k + x^2 = 0 \implies 2x^2 - 30x - 20k = 0$.
- Bu denklemden $k$ değerini çekelim: $20k = 2x^2 - 30x \implies k = \frac{x^2 - 15x}{10}$.
- $k$ ifadesini tekrar Denklem 2'ye yerine koyalım: $(\frac{x^2 - 15x}{10})^2 + 225 = (x-15)^2$.
- $\frac{x^2(x-15)^2}{100} + 225 = (x-15)^2$.
- Denklemi düzenleyelim: $x^2(x-15)^2 + 22500 = 100(x-15)^2$.
- $22500 = 100(x-15)^2 - x^2(x-15)^2 = (x-15)^2(100 - x^2)$.
- $(x-15)^2(100 - x^2) = 2