Sorunun Çözümü
ÇÖZÜM:
- D noktasını koordinat sisteminin başlangıç noktası olarak alalım: $D = (0,0)$.
- $m(\hat{D}) = 90^\circ$ olduğu için, C noktası x ekseni üzerinde ve A noktası y ekseni üzerinde olacaktır.
- $|CD| = 4\sqrt{3} cm$ olduğundan $C = (4\sqrt{3}, 0)$.
- $|AD|$ uzunluğunu $h$ ile gösterelim. O zaman $A = (0, h)$.
- B noktasının koordinatları $B = (x, y)$ olsun.
- $|BC| = 1 cm$ bilgisini kullanarak: $(x - 4\sqrt{3})^2 + y^2 = 1^2 \implies x^2 - 8\sqrt{3}x + 48 + y^2 = 1 \implies x^2 + y^2 = 8\sqrt{3}x - 47$. (Denklem 1)
- $|AB| = 7 cm$ bilgisini kullanarak: $x^2 + (y - h)^2 = 7^2 \implies x^2 + y^2 - 2hy + h^2 = 49$. (Denklem 2)
- $m(\hat{B}) = 90^\circ$ olduğu için $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0$ olmalıdır.
- $\vec{BA} = (-x, h-y)$ ve $\vec{BC} = (4\sqrt{3}-x, -y)$.
- Dot çarpımını hesaplayalım: $(-x)(4\sqrt{3}-x) + (h-y)(-y) = 0 \implies -4\sqrt{3}x + x^2 - hy + y^2 = 0 \implies x^2 + y^2 - 4\sqrt{3}x - hy = 0$. (Denklem 3)
- Denklem 1'i Denklem 3'e yerine koyalım: $(8\sqrt{3}x - 47) - 4\sqrt{3}x - hy = 0 \implies 4\sqrt{3}x - 47 - hy = 0 \implies hy = 4\sqrt{3}x - 47$. (Denklem 4)
- Denklem 1 ve Denklem 4'ü Denklem 2'ye yerine koyalım: $(8\sqrt{3}x - 47) - 2(4\sqrt{3}x - 47) + h^2 = 49$.
- $8\sqrt{3}x - 47 - 8\sqrt{3}x + 94 + h^2 = 49$.
- $47 + h^2 = 49$.
- $h^2 = 2$.
- $h = \sqrt{2}$ (uzunluk pozitif olmalıdır).
- Yani $|AD| = \sqrt{2} cm$.
- Doğru Seçenek B'dır.