Sorunun Çözümü
- Öncelikle C ve B noktalarının koordinatlarını belirleyelim. C noktası $(1,1)$ ve B noktası $(7,1)$ olarak alınabilir.
- $\triangle ABC$'nin ikizkenar üçgen olması beklenir, bu durumda A köşesi CB tabanının dik ortay doğrusu üzerinde olmalıdır.
- CB tabanının orta noktası $(\frac{1+7}{2}, 1) = (4,1)$'dir. Dolayısıyla A noktasının x-koordinatı $4$ olmalıdır.
- Verilen seçeneklerde x-koordinatı $4$ olan noktalar $1$ ve $4$'tür. Nokta $1$ $(4,5)$ ve Nokta $4$ $(4,6)$'dır.
- Eğer A noktası $(4,5)$ olursa, üçgenin yüksekliği $5-1=4$ birim olur. Bu durumda, $AC$ ve $AB$ kenarlarının uzunlukları Pisagor teoremine göre $\sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ birim olur. Bu, kenar uzunlukları $5, 5, 6$ olan "düzgün" bir ikizkenar üçgen oluşturur.
- Eğer A noktası $(4,6)$ olursa, üçgenin yüksekliği $6-1=5$ birim olur. Bu durumda, $AC$ ve $AB$ kenarlarının uzunlukları $\sqrt{(4-1)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}$ birim olur. $\sqrt{34}$ bir tam sayı değildir, bu da bu üçgeni daha az "beklenen" yapar.
- Bu nedenle, A noktasının $1$ numaralı nokta olması beklenir.
- Doğru Seçenek A'dır.