Verilen problemde, dört geminin (A, B, C, D) konumları ve aralarındaki bazı açılar gösterilmiştir. Bu açılar yardımıyla üçgenlerdeki kenar uzunlukları arasındaki ilişkileri belirlememiz istenmektedir. Hangi ifadenin yanlış olduğunu bulmak için her bir üçgenin iç açılarını tamamlayıp, açı-kenar bağıntılarını kullanacağız.

• 1. Üçgen ABD için açıları bulalım:
  • $\angle BAD = 40^\circ$ (Verilmiş)
  • $\angle ABD = 70^\circ$ (Verilmiş)
  • Bir üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan, $\angle ADB = 180^\circ - (40^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.
  • Bu durumda, $\angle ABD = \angle ADB = 70^\circ$ olduğu için ABD üçgeni ikizkenar bir üçgendir ve bu açılar karşısındaki kenarlar eşit uzunluktadır: $|AD| = |AB|$.
• 2. Üçgen BCD için açıları bulalım:
  • $\angle BDC = 55^\circ$ (Verilmiş)
  • $\angle BCD = 80^\circ$ (Verilmiş)
  • Bir üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan, $\angle CBD = 180^\circ - (55^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.
• 3. Seçenekleri değerlendirelim:

  Üçgenlerde, büyük açı karşısında büyük kenar bulunur.

  • A) $|AD| = |AB|$

    ABD üçgeninde $\angle ABD = 70^\circ$ ve $\angle ADB = 70^\circ$ bulmuştuk. Eşit açılar karşısındaki kenarlar eşit olduğundan, $|AD| = |AB|$ ifadesi DOĞRUDUR.

  • B) $|BD| > |BC|$

    BCD üçgeninde $\angle BCD = 80^\circ$ (BD kenarının karşısı) ve $\angle BDC = 55^\circ$ (BC kenarının karşısı) bulmuştuk. $80^\circ > 55^\circ$ olduğundan, $|BD| > |BC|$ ifadesi DOĞRUDUR.

  • C) $|AB| > |BC|$

    A seçeneğinden $|AB| = |AD|$ olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla $|AD|$ ile $|BC|$'yi karşılaştırmalıyız.

    ABD üçgeninde açılar $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$. Kenarların sıralaması: $|BD| < |AD| = |AB|$ (çünkü $40^\circ < 70^\circ$).

    BCD üçgeninde açılar $45^\circ, 55^\circ, 80^\circ$. Kenarların sıralaması: $|CD| < |BC| < |BD|$ (çünkü $45^\circ < 55^\circ < 80^\circ$).

    Şimdi $|AB|$ ve $|BC|$'yi karşılaştıralım. $|AB| = |AD|$ ve $|AD| > |BD|$ olduğunu biliyoruz. Ayrıca $|BD| > |BC|$ olduğunu B seçeneğinde bulduk. Bu durumda, $|AB| = |AD| > |BD| > |BC|$ ilişkisi geçerlidir. Yani $|AB| > |BC|$ ifadesi DOĞRUDUR.

  • D) $|CD| > |AD|$

    BCD üçgeninde kenar sıralaması $|CD| < |BC| < |BD|$ idi.

    ABD üçgeninde kenar sıralaması $|BD| < |AD|$ idi (çünkü $40^\circ < 70^\circ$).

    Bu durumda, $|CD| < |BD|$ ve $|BD| < |AD|$ olduğundan, kesinlikle $|CD| < |AD|$ olmalıdır. Dolayısıyla, $|CD| > |AD|$ ifadesi YANLIŞTIR.

Cevap D seçeneğidir.