Verilen ABCD dörtgeninde en kısa kenarı bulmak için, dörtgeni oluşturan iki üçgeni ayrı ayrı inceleyelim ve her bir üçgende kenar-açı ilişkisini kullanalım.

• 1. Adım: \(\triangle ABD\) üçgenini inceleyelim.
• Verilen açılar: \(\angle DAB = 80^\circ\) ve \(\angle ABD = 55^\circ\).
• Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğundan, üçüncü açıyı bulalım:
• \(\angle ADB = 180^\circ - (80^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\).
• Şimdi \(\triangle ABD\)'deki açıları ve karşılarındaki kenarları sıralayalım:
  • \(\angle ADB = 45^\circ\) karşısında AB kenarı var.
  • \(\angle ABD = 55^\circ\) karşısında AD kenarı var.
  • \(\angle DAB = 80^\circ\) karşısında DB kenarı var.
• Bir üçgende, küçük açı karşısında kısa kenar bulunur. Bu durumda, \(\triangle ABD\) içinde kenar uzunlukları sıralaması: AB < AD < DB.
• 2. Adım: \(\triangle BCD\) üçgenini inceleyelim.
• Verilen açılar: \(\angle BDC = 75^\circ\) ve \(\angle CBD = 65^\circ\).
• Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğundan, üçüncü açıyı bulalım:
• \(\angle BCD = 180^\circ - (75^\circ + 65^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\).
• Şimdi \(\triangle BCD\)'deki açıları ve karşılarındaki kenarları sıralayalım:
  • \(\angle BCD = 40^\circ\) karşısında DB kenarı var.
  • \(\angle CBD = 65^\circ\) karşısında CD kenarı var.
  • \(\angle BDC = 75^\circ\) karşısında BC kenarı var.
• Bu durumda, \(\triangle BCD\) içinde kenar uzunlukları sıralaması: DB < CD < BC.
• 3. Adım: Tüm kenarları karşılaştıralım.
• \(\triangle ABD\)'den: AB < AD < DB
• \(\triangle BCD\)'den: DB < BC (ve DB < CD)
• Bu iki sıralamayı birleştirdiğimizde: AB < AD < DB < BC elde ederiz.
• Seçeneklerde verilen kenarlar: [AD], [AB], [BC], [DB].
• Yukarıdaki sıralamaya göre bu kenarların en kısası AB'dir.

Cevap B seçeneğidir.