Verilen soruda en uzun kenarı bulmak için, her bir üçgendeki açıları hesaplayıp, büyük açının karşısında büyük kenar kuralını uygulayacağız. Ardından, kenarları birbiriyle karşılaştıracağız.

• 1. Adım: Üçgenlerdeki Eksik Açıları Bulma
• Üçgen CED:
  • $\angle C = 60^\circ$
  • $\angle CDE = 50^\circ$
  • $\angle CED = 180^\circ - (60^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$
• Üçgen ACD:
  • $\angle CAD = 30^\circ$
  • $\angle ADC = \angle ADE + \angle CDE = 55^\circ + 50^\circ = 105^\circ$
  • $\angle ACD = 180^\circ - (30^\circ + 105^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$
• Üçgen ABD:
  • $\angle ABD = 45^\circ$
  • $\angle ADB = 55^\circ$
  • $\angle BAD = 180^\circ - (45^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$
• 2. Adım: Her Üçgende En Uzun Kenarı Belirleme

Bir üçgende en büyük açının karşısındaki kenar en uzundur.

• Üçgen CED: Açılar $50^\circ, 60^\circ, 70^\circ$. En büyük açı $\angle CED = 70^\circ$. Karşısındaki kenar CD'dir. Dolayısıyla $CE < DE < CD$.
• Üçgen ACD: Açılar $30^\circ, 45^\circ, 105^\circ$. En büyük açı $\angle ADC = 105^\circ$. Karşısındaki kenar AC'dir. Dolayısıyla $CD < AD < AC$.
• Üçgen ABD: Açılar $45^\circ, 55^\circ, 80^\circ$. En büyük açı $\angle BAD = 80^\circ$. Karşısındaki kenar BD'dir. Dolayısıyla $AD < AB < BD$.
• 3. Adım: Tüm Kenarları Karşılaştırma

Elde ettiğimiz sıralamaları birleştirelim:

• $CE < DE < CD$ (Üçgen CED'den)
• $CD < AD < AC$ (Üçgen ACD'den)
• $AD < BD$ (Üçgen ABD'den, çünkü $AD$ karşısında $45^\circ$, $BD$ karşısında $80^\circ$ var ve $45^\circ < 80^\circ$)

Bu sıralamalardan $CE < DE < CD < AD < AC$ zincirini elde ederiz. Ayrıca $AD < BD$ olduğunu biliyoruz.

Şimdi AC ve BD kenarlarını karşılaştırmamız gerekiyor. Her iki kenar da AD kenarı ile Sinüs Teoremi kullanılarak ilişkilendirilebilir:

• $\triangle ACD$'de: $\frac{AC}{\sin(105^\circ)} = \frac{AD}{\sin(45^\circ)} \implies AC = AD \cdot \frac{\sin(105^\circ)}{\sin(45^\circ)}$
• $\triangle ABD$'de: $\frac{BD}{\sin(80^\circ)} = \frac{AD}{\sin(45^\circ)} \implies BD = AD \cdot \frac{\sin(80^\circ)}{\sin(45^\circ)}$

$\sin(105^\circ) = \sin(180^\circ - 75^\circ) = \sin(75^\circ)$ olduğunu biliyoruz. $0^\circ$ ile $90^\circ$ arasındaki açılar için sinüs fonksiyonu artan olduğundan, $75^\circ < 80^\circ$ olduğu için $\sin(75^\circ) < \sin(80^\circ)$ olur.

Bu durumda, $AC < BD$ sonucuna ulaşırız.

Tüm kenarlar arasında en uzun olanı BD kenarıdır.

Cevap D seçeneğidir.