Verilen ABCD dörtgeni, AC köşegeni ile iki üçgene ayrılmıştır: ADC ve ABC.

• ADC üçgeni için:
• Açı D = $90^\circ$ (Dik açı)
• Açı DAC = $30^\circ$
• Açı ACD = $180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$
• Bir üçgende, büyük açı karşısında büyük kenar bulunur. Bu üçgendeki açılar $90^\circ$, $60^\circ$, $30^\circ$ sırasıyla AC, AD (1. etap) ve CD (2. etap) kenarlarını görür.
• Bu durumda kenar uzunlukları sıralaması: $AC > AD > CD$.
• Kenar uzunluklarını AC cinsinden ifade edelim:
• $AD = AC \cdot \cos(30^\circ) = AC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ (1. etap)
• $CD = AC \cdot \sin(30^\circ) = AC \cdot \frac{1}{2}$ (2. etap)
• ABC üçgeni için:
• Açı BAC = $45^\circ$
• Açı BCA = $70^\circ$
• Açı ABC = $180^\circ - 45^\circ - 70^\circ = 65^\circ$
• Bu üçgendeki açılar $70^\circ$, $65^\circ$, $45^\circ$ sırasıyla AB (4. etap), AC ve BC (3. etap) kenarlarını görür.
• Bu durumda kenar uzunlukları sıralaması: $AB > AC > BC$.
• Kenar uzunluklarını AC cinsinden (Sinüs Teoremi ile) ifade edelim:
• $\frac{AB}{\sin(70^\circ)} = \frac{BC}{\sin(45^\circ)} = \frac{AC}{\sin(65^\circ)}$
• $AB = AC \cdot \frac{\sin(70^\circ)}{\sin(65^\circ)}$ (4. etap)
• $BC = AC \cdot \frac{\sin(45^\circ)}{\sin(65^\circ)}$ (3. etap)
• Etapların Uzunluklarını Karşılaştırma:
• 1. etap (AD) = $AC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx AC \cdot 0.866$
• 2. etap (CD) = $AC \cdot \frac{1}{2} = AC \cdot 0.5$
• 3. etap (BC) = $AC \cdot \frac{\sin(45^\circ)}{\sin(65^\circ)} \approx AC \cdot \frac{0.707}{0.906} \approx AC \cdot 0.780$
• 4. etap (AB) = $AC \cdot \frac{\sin(70^\circ)}{\sin(65^\circ)} \approx AC \cdot \frac{0.940}{0.906} \approx AC \cdot 1.038$

Bu değerleri karşılaştırdığımızda, AC'nin katsayısı en büyük olan etap 4. etap (AB) için yaklaşık $1.038$'dir.

Bu durumda en uzun etap 4. etap'tır.

Cevap D seçeneğidir.