Verilen ABC üçgeninde AC kenarının uzunluğunu bulmak için üçgen eşitsizliği ve açılar ile kenarlar arasındaki ilişkiyi kullanacağız.

• 1. Üçgen Eşitsizliği Kuralını Uygulayalım:

  Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır.

  Kenarlarımız AB = 8 cm, BC = 12 cm ve AC = x olsun.

  Bu durumda:

  \(|12 - 8| < x < 12 + 8\)

  \(4 < x < 20\)

• 2. Açılar ve Kenarlar Arasındaki İlişkiyi Kullanalım:

  Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.

  Soruda \(m(\hat{B}) > m(\hat{C})\) olduğu verilmiştir.

  Açısı B olanın karşısındaki kenar AC (yani x).

  Açısı C olanın karşısındaki kenar AB (yani 8 cm).

  Bu durumda, \(x > 8\) olmalıdır.

• 3. Elde Edilen Eşitsizlikleri Birleştirelim:

  İlk eşitsizlikten \(4 < x < 20\), ikinci eşitsizlikten ise \(x > 8\) bulduk.

  Bu iki eşitsizliği birleştirdiğimizde, x'in alabileceği değer aralığı:

  \(8 < x < 20\)

• 4. En Küçük ve En Büyük Tam Sayı Değerlerini Bulalım:

  \(8 < x < 20\) eşitsizliğine göre:

  • x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri 9'dur.
  • x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri 19'dur.
• 5. Bu Değerlerin Toplamını Hesaplayalım:

  En küçük tam sayı değeri (9) ile en büyük tam sayı değeri (19) toplamı:

  \(9 + 19 = 28\)

Cevap C seçeneğidir.