Verilen şekilde, $|BC|$ kenarının alabileceği tam sayı değerlerini bulmak için üçgen eşitsizliği teoremini kullanmalıyız. Şekilde iki adet üçgen bulunmaktadır: $\triangle ABC$ ve $\triangle BDC$.

• $\triangle ABC$ için üçgen eşitsizliği:

Kenar uzunlukları 10, 8 ve $|BC|$'dir. Üçgen eşitsizliğine göre, bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçük olmalıdır.

$$|10 - 8| < |BC| < 10 + 8$$ $$2 < |BC| < 18 \quad \text{(Eşitsizlik 1)}$$
• $\triangle BDC$ için üçgen eşitsizliği:

Kenar uzunlukları 7, 6 ve $|BC|$'dir. Aynı kuralı bu üçgen için de uygulayalım.

$$|7 - 6| < |BC| < 7 + 6$$ $$1 < |BC| < 13 \quad \text{(Eşitsizlik 2)}$$
• İki eşitsizliği birleştirme:

$|BC|$ kenarının her iki üçgen için de geçerli olması gerektiğinden, her iki eşitsizliği de sağlamalıdır. Bu durumda, alt sınırların en büyüğünü ve üst sınırların en küçüğünü alırız.

• Alt sınır: $\max(2, 1) = 2$
• Üst sınır: $\min(18, 13) = 13$

Bu durumda, $|BC|$ için geçerli aralık:

$$2 < |BC| < 13$$
• Alabileceği tam sayı değerleri:

$|BC|$'nin alabileceği tam sayı değerleri 2'den büyük ve 13'ten küçük olmalıdır. Bu değerler şunlardır:

$$3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$$

Bu aralıktaki tam sayı adedi:

$$12 - 3 + 1 = 10$$

Bu nedenle, $|BC|$'nin alabileceği 10 farklı tam sayı değeri vardır.

Cevap A seçeneğidir.