Verilen PRS üçgeninde kenar uzunluklarını belirleyelim:

• $|PR| = x$
• $|PS| = y$
• $|RS| = 15$ cm

1. Açı-Kenar İlişkisi:

Üçgende büyük açı karşısında büyük kenar bulunur. Soruda verilen $m(\hat{P}) > m(\hat{R}) > m(\hat{S})$ açı sıralamasına göre kenar uzunlukları sıralaması şu şekildedir:

• $\hat{P}$ açısının karşısındaki kenar $|RS|$
• $\hat{R}$ açısının karşısındaki kenar $|PS|$
• $\hat{S}$ açısının karşısındaki kenar $|PR|$

Bu durumda:

$$|RS| > |PS| > |PR|$$

Değerleri yerine yazarsak:

$$15 > y > x$$

Buradan $x$ ve $y$ tam sayı olduğu için $y \le 14$ ve $x \le 13$ çıkar.

2. Üçgen Eşitsizliği:

Bir üçgende herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır:

• $x + y > 15$
• $x + 15 > y$
• $y + 15 > x$ (Bu eşitsizlik $y > x$ olduğu için her zaman doğrudur.)

3. Çeşitkenar Üçgen Koşulu:

PRS üçgeni çeşitkenar olduğu için tüm kenar uzunlukları birbirinden farklı olmalıdır. $15 > y > x$ eşitsizliği zaten $x \ne y$, $x \ne 15$ ve $y \ne 15$ olmasını sağlar.

4. PR Kenarının (x) En Büyük Değerini Bulma:

Amacımız $x$'i en büyük yapmak. Yukarıdaki koşulları birleştirelim:

• $x < y < 15$
• $x + y > 15$

$x$'in en büyük değerini bulmak için $y$'yi $15$'e en yakın tam sayı olarak seçmeliyiz. $y < 15$ olduğundan, $y$'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri $14$'tür.

$y=14$ değerini eşitsizliklerde yerine koyalım:

• $x < 14 < 15 \implies x < 14$
• $x + 14 > 15 \implies x > 1$

Bu durumda $x$ için $1 < x < 14$ koşulu sağlanır. Bu aralıktaki en büyük tam sayı değeri $x = 13$'tür.

Kontrol edelim:

• Kenarlar: $x=13$, $y=14$, $|RS|=15$.
• Çeşitkenar mı? Evet, $13, 14, 15$ farklı sayılar.
• Açı-kenar ilişkisi: $15 > 14 > 13$ (doğru).
• Üçgen eşitsizliği:
  • $13+14 > 15 \implies 27 > 15$ (doğru)
  • $13+15 > 14 \implies 28 > 14$ (doğru)
  • $14+15 > 13 \implies 29 > 13$ (doğru)

Tüm koşullar sağlandığına göre, PR kenarının uzunluğu en çok $13$ cm olabilir.

Cevap D seçeneğidir.