Verilen ABCD dörtgeninde en kısa kenarı bulmak için, dörtgeni iki üçgene ayırıp her bir üçgenin kenar uzunluklarını açılarına göre sıralayacağız. Bir üçgende, en küçük açının karşısındaki kenar en kısadır.

• 1. Adım: $\triangle ABD$ üçgenini inceleyelim.
• Verilen açılar: $\angle A = 57^\circ$ ve $\angle ABD = 63^\circ$.
• Üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan, $\angle ADB$ açısını bulalım:
• $\angle ADB = 180^\circ - (57^\circ + 63^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
• $\triangle ABD$ üçgenindeki açılar: $\angle A = 57^\circ$, $\angle ADB = 60^\circ$, $\angle ABD = 63^\circ$.
• Açıların sıralaması: $57^\circ < 60^\circ < 63^\circ$, yani $\angle A < \angle ADB < \angle ABD$.
• Bu açılara karşılık gelen kenarların sıralaması: $BD < AB < AD$.
• 2. Adım: $\triangle BCD$ üçgenini inceleyelim.
• Verilen açılar: $\angle C = 62^\circ$ ve $\angle CBD = 60^\circ$.
• Üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan, $\angle BDC$ açısını bulalım:
• $\angle BDC = 180^\circ - (62^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$.
• $\triangle BCD$ üçgenindeki açılar: $\angle BDC = 58^\circ$, $\angle CBD = 60^\circ$, $\angle C = 62^\circ$.
• Açıların sıralaması: $58^\circ < 60^\circ < 62^\circ$, yani $\angle BDC < \angle CBD < \angle C$.
• Bu açılara karşılık gelen kenarların sıralaması: $BC < CD < BD$.
• 3. Adım: Tüm kenarları karşılaştıralım.
• $\triangle ABD$'den elde ettiğimiz sıralama: $BD < AB < AD$.
• $\triangle BCD$'den elde ettiğimiz sıralama: $BC < CD < BD$.
• İki sıralamayı birleştirdiğimizde: $BC < CD < BD < AB < AD$.
• Bu sıralamaya göre, en kısa kenar BC kenarıdır.

Cevap D seçeneğidir.