Verilen DEF üçgeninde |DE| = 6 cm ve |DF| = 4 cm'dir. Açılar arasındaki ilişki \(m(\hat{D}) > m(\hat{F}) > m(\hat{E})\) olarak verilmiştir. |EF|'nin alabileceği tam sayı değerlerini bulmak için aşağıdaki adımları izleyelim:

• Açı-Kenar İlişkisi: Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur.
  • \(m(\hat{D})\) açısının karşısındaki kenar |EF|'dir.
  • \(m(\hat{F})\) açısının karşısındaki kenar |DE|'dir.
  • \(m(\hat{E})\) açısının karşısındaki kenar |DF|'dir.
  Bu durumda, verilen açı ilişkisi \(m(\hat{D}) > m(\hat{F}) > m(\hat{E})\) olduğundan, kenar uzunlukları arasındaki ilişki:

  \(|EF| > |DE| > |DF|\)

  Verilen kenar uzunluklarını yerine yazarsak:

  \(|EF| > 6 \text{ cm} > 4 \text{ cm}\)

  Buradan \(|EF| > 6\) sonucunu elde ederiz.

• Üçgen Eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır.

  |DE| = 6 cm, |DF| = 4 cm ve |EF| = x olsun.

  • \(|DE| - |DF| < |EF| < |DE| + |DF|\)
  • \(|6 - 4| < x < 6 + 4\)
  • \(2 < x < 10\)

  Bu eşitsizlikten \(2 < |EF| < 10\) sonucunu elde ederiz.

• Eşitsizlikleri Birleştirme: Elde ettiğimiz iki eşitsizliği birleştirelim:
  • \(|EF| > 6\)
  • \(2 < |EF| < 10\)

  Bu iki eşitsizliği birleştirdiğimizde, \(6 < |EF| < 10\) aralığını buluruz.

• Tam Sayı Değerleri: |EF|'nin alabileceği tam sayı değerleri bu aralıkta olmalıdır.

  6'dan büyük ve 10'dan küçük tam sayılar 7, 8, 9'dur.

  Bu durumda |EF|'nin alabileceği 3 farklı tam sayı değeri vardır.

Cevap B seçeneğidir.