Verilen bilgilere göre, bir ABC üçgeninde açılar arasında \(m(\hat{A}) < m(\hat{B}) < m(\hat{C})\) sıralaması vardır. Üçgenin çevre uzunluğu 30 cm'dir.

Adım 1: Kenar uzunlukları ile açılar arasındaki ilişkiyi belirleme.

• Bir üçgende, büyük açı karşısında büyük kenar bulunur.
• \(m(\hat{A})\) açısının karşısındaki kenar BC'dir (genellikle 'a' ile gösterilir).
• \(m(\hat{B})\) açısının karşısındaki kenar AC'dir (genellikle 'b' ile gösterilir).
• \(m(\hat{C})\) açısının karşısındaki kenar AB'dir (genellikle 'c' ile gösterilir).
• Verilen açı sıralaması \(m(\hat{A}) < m(\hat{B}) < m(\hat{C})\) olduğundan, kenar uzunlukları arasında \(a < b < c\) sıralaması olmalıdır.

Adım 2: Çevre uzunluğunu kullanma.

• Üçgenin çevre uzunluğu \(a+b+c = 30\) cm'dir.

Adım 3: Üçgen eşitsizliğini ve kenar sıralamasını kullanarak 'a' için sınırlar belirleme.

• Herhangi bir üçgende, iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır. Bu durumda \(a+b > c\) eşitsizliği geçerlidir.
• Çevre uzunluğu denkleminden \(c = 30 - a - b\) ifadesini üçgen eşitsizliğine yerine koyalım: \[a+b > 30 - a - b\] \[2a + 2b > 30\] \[a + b > 15\]
• Ayrıca, kenar sıralamasından \(a < b\) olduğunu biliyoruz.
• \(a < b\) eşitsizliğini kullanarak \(a+b > 15\) ifadesinde \(b\) yerine \(a\) yazarsak (küçük tarafı bulmak için): \[a + a < a + b\] \[2a < a + b\] Bu durumda \(2a < a+b\) ve \(a+b > 15\) olduğundan, \(2a\) değeri 15'ten küçük olabilir. Bu bize 'a' için bir alt sınır vermez.
• Ancak, \(a < b\) olduğundan, \(b\) yerine \(a\) yazarsak (b'nin en küçük değeri a'dan biraz büyük olmalı): \[a + b > 15\] \[a + (a + \epsilon) > 15 \quad (\text{burada } \epsilon \text{ çok küçük pozitif bir sayıdır})\] \[2a + \epsilon > 15\] \(\epsilon \to 0\) limitinde, \(2a \ge 15 \Rightarrow a \ge 7.5\). Yani, \(a > 7.5\) olmalıdır.
• Diğer yandan, \(a < b < c\) ve \(a+b+c = 30\) olduğundan, \(a\) en küçük kenardır. \[a+a+a < a+b+c\] \[3a < 30\] \[a < 10\]
• Bu iki eşitsizliği birleştirirsek, \(7.5 < a < 10\) elde ederiz.

Adım 4: BC kenarının alabileceği en büyük tam sayı değerini bulma.

• \(7.5 < a < 10\) aralığındaki tam sayılar 8 ve 9'dur.
• Soruda BC kenarının (yani 'a'nın) alabileceği en büyük tam sayı değeri sorulmaktadır. Bu değer 9'dur.

Adım 5: 'a=9' için geçerli bir üçgenin varlığını kontrol etme.

• Eğer \(a=9\) ise, \(7.5 < 9 < 10\) koşulu sağlanır.
• Kenar sıralaması \(9 < b < c\) olmalıdır.
• Çevre uzunluğu \(9+b+c = 30 \Rightarrow b+c = 21\).
• Üçgen eşitsizliği \(9+b > c\).
• \(b+c=21\) denkleminden \(c = 21-b\). Bunu \(9 < b < c\) ve \(9+b > c\) eşitsizliklerine yerleştirelim:
  • \(9 < b\)
  • \(b < 21-b \Rightarrow 2b < 21 \Rightarrow b < 10.5\)
  • \(9+b > 21-b \Rightarrow 2b > 12 \Rightarrow b > 6\) (Bu zaten \(b > 9\) koşulunu sağlar)
• Bu durumda \(9 < b < 10.5\) olmalıdır.
• Bu aralıkta bir \(b\) değeri seçebiliriz, örneğin \(b=10\).
• Eğer \(b=10\) ise, \(c = 21-10 = 11\).
• Kenarlar \(a=9, b=10, c=11\) olur.
  • Sıralama kontrolü: \(9 < 10 < 11\). (Sağlanır)
  • Çevre kontrolü: \(9+10+11 = 30\). (Sağlanır)
  • Üçgen eşitsizliği kontrolü: \(9+10 > 11 \Rightarrow 19 > 11\). (Sağlanır)
• Tüm koşullar sağlandığı için \(a=9\) değeri mümkündür.

Bu nedenle, BC kenarının uzunluğunun alabileceği en büyük tam sayı değeri 9'dur.

Cevap D seçeneğidir.