Verilen bilgilere göre, bir ABC üçgenimiz var:
- |AB| = |AC| = 15 cm: Bu, üçgenin bir ikizkenar üçgen olduğunu gösterir.
- m(∠A) < 60°: A açısının ölçüsü 60 dereceden küçüktür.
Bizden |BC|'nin en büyük tam sayı değeri isteniyor.
Adım adım çözüm:
-
İkizkenar Üçgen Özelliği: ABC üçgeni ikizkenar olduğundan, eşit kenarların karşısındaki açılar da eşittir. Yani, m(∠B) = m(∠C).
-
Açı-Kenar İlişkisi: Bir üçgende, büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur.
-
A açısının durumu:
- Eğer m(∠A) = 60° olsaydı, üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan, m(∠B) + m(∠C) = 180° - 60° = 120° olurdu.
- m(∠B) = m(∠C) olduğundan, m(∠B) = m(∠C) = 120° / 2 = 60° olurdu.
- Bu durumda, üçgen eşkenar üçgen olurdu ve tüm kenar uzunlukları eşit olurdu: |AB| = |AC| = |BC| = 15 cm.
-
Verilen koşulu uygulama: Bize m(∠A) < 60° olduğu verilmiş.
- A açısı 60 dereceden küçük olduğunda, A açısının karşısındaki kenar olan |BC|, 15 cm'den daha küçük olmak zorundadır.
- Bunu Kosinüs Teoremi ile de görebiliriz:
\(|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2|AB||AC|\cos(A)\)
\(|BC|^2 = 15^2 + 15^2 - 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos(A)\)
\(|BC|^2 = 2 \cdot 15^2 - 2 \cdot 15^2 \cdot \cos(A)\)
\(|BC|^2 = 2 \cdot 15^2 (1 - \cos(A))\)
Eğer \(A < 60^\circ\) ise, \(\cos(A) > \cos(60^\circ)\). Biz \(\cos(60^\circ) = 1/2\) olduğunu biliyoruz.
Yani, \(\cos(A) > 1/2\).
Bu durumda, \(1 - \cos(A) < 1 - 1/2 = 1/2\).
Yerine koyarsak:
\(|BC|^2 < 2 \cdot 15^2 \cdot (1/2)\)
\(|BC|^2 < 15^2\)
\(|BC| < 15\)
-
Üçgen Eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından ise küçüktür.
- |AB| - |AC| < |BC| < |AB| + |AC|
- 15 - 15 < |BC| < 15 + 15
- 0 < |BC| < 30
-
Sonuçların Birleştirilmesi:
- Yukarıdaki adımlardan |BC| < 15 ve 0 < |BC| < 30 bulduk.
- Bu iki eşitsizliği birleştirdiğimizde, 0 < |BC| < 15 elde ederiz.
- |BC|'nin 15'ten küçük olması gerektiği için, alabileceği en büyük tam sayı değeri 14'tür.
Cevap D seçeneğidir.