Üçgenin kenar uzunlukları doğal sayıdır.

Verilen kenar uzunlukları:

• \(BC = a = 10\) cm (A açısının karşısındaki kenar)
• \(AC = b = 7\) cm (B açısının karşısındaki kenar)
• \(AB = c\) cm (C açısının karşısındaki kenar)

Açıların sıralaması verilmiş: \(m(\hat{B}) < m(\hat{C}) < m(\hat{A})\).

Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar bulunur. Bu durumda kenar uzunlukları arasındaki ilişki:

• \(b < c < a\)

Bilinen kenar uzunluklarını yerine yazarsak:

• \(7 < c < 10\)

Ayrıca, üçgen eşitsizliğini de kontrol etmeliyiz:

• \(|a - b| < c < a + b\)
• \(|10 - 7| < c < 10 + 7\)
• \(3 < c < 17\)

Her iki eşitsizliği birleştirirsek:

• \(7 < c < 10\) (Açı-kenar ilişkisinden)
• \(3 < c < 17\) (Üçgen eşitsizliğinden)

Bu iki koşulun kesişimi \(7 < c < 10\) aralığıdır.

Kenar uzunluğu \(c\) bir doğal sayı olduğuna göre, \(c\) için olası değerler:

• \(c = 8\) cm
• \(c = 9\) cm

Üçgenin çevresi \(Ç = a + b + c = 10 + 7 + c = 17 + c\).

Olası çevre değerlerini hesaplayalım:

• Eğer \(c = 8\) ise, \(Ç = 17 + 8 = 25\) cm.
• Eğer \(c = 9\) ise, \(Ç = 17 + 9 = 26\) cm.

Verilen seçeneklere göre, üçgenin çevresi aşağıdaki değerlerden hangisi olabilir?

• I. 20 cm (Olamaz)
• II. 25 cm (Olabilir, \(c=8\) iken)
• III. 30 cm (Olamaz)

Bu durumda sadece 25 cm çevre uzunluğu mümkün olabilir.

Cevap B seçeneğidir.