Verilen problemde, iki üçgenin ortak kenarı olan |BD| uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin sayısını bulmamız isteniyor. Bu tür problemlerde üçgen eşitsizliği kuralını kullanırız.

• ABD Üçgeni İçin Üçgen Eşitsizliği:
• Kenar uzunlukları 10 cm, 7 cm ve |BD|'dir.
• Üçgen eşitsizliğine göre, bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçük olmalıdır.
• $|10 - 7| < |BD| < 10 + 7$
• $3 < |BD| < 17$
• BCD Üçgeni İçin Üçgen Eşitsizliği:
• Kenar uzunlukları 12 cm, 8 cm ve |BD|'dir.
• Üçgen eşitsizliğine göre:
• $|12 - 8| < |BD| < 12 + 8$
• $4 < |BD| < 20$
• Ortak Değer Aralığını Bulma:
• |BD| uzunluğu her iki eşitsizliği de sağlamalıdır.
• $3 < |BD| < 17$
• $4 < |BD| < 20$
• Bu iki aralığın kesişimini alırken, alt sınırlardan büyüğünü, üst sınırlardan küçüğünü seçeriz.
• $\max(3, 4) < |BD| < \min(17, 20)$
• $4 < |BD| < 17$
• Tam Sayı Değerlerinin Sayısını Bulma:
• |BD|'nin alabileceği tam sayı değerleri 4'ten büyük ve 17'den küçük olmalıdır.
• Bu değerler: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16'dır.
• Tam sayı değerlerinin sayısı = (Üst Sınır - 1) - (Alt Sınır) = $16 - 4 = 12$
• Veya, (Son Terim - İlk Terim) + 1 = $(16 - 5) + 1 = 11 + 1 = 12$

Buna göre, |BD| uzunluğunun alabileceği 12 farklı tam sayı değeri vardır.

Cevap C seçeneğidir.