Verilen soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. Adım: Üçgen Eşitsizliği Kuralını Uygulama

Bir üçgenin kenar uzunlukları $a, b, c$ ise, üçgen eşitsizliği kuralına göre her kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır. Yani:

• $|a - b| < c < a + b$
• $|a - c| < b < a + c$
• $|b - c| < a < b + c$

Ayrıca, tüm kenar uzunluklarının santimetre cinsinden birer tam sayı olduğu belirtilmiştir.

• 2. Adım: $\triangle DEH$ İçin Kenar Uzunluğu HE'yi Bulma

$\triangle DEH$ üçgeninin kenarları $DH = 3$ cm ve $DE = 4$ cm olarak verilmiştir. $HE$ kenarının uzunluğuna $x$ diyelim. Üçgen eşitsizliğini uygulayalım:

• $|4 - 3| < x < 4 + 3$
• $1 < x < 7$

$x$ bir tam sayı olduğu için, $x$ değerleri $\{2, 3, 4, 5, 6\}$ olabilir.

• 3. Adım: $\triangle HEG$ İçin Kenar Uzunluğu GE'yi Bulma

$\triangle HEG$ üçgeninin kenarları $HG = 3$ cm ve $HE = x$ cm'dir. $GE$ kenarının uzunluğuna $y$ diyelim. Üçgen eşitsizliğini uygulayalım:

• $|x - 3| < y < x + 3$

$GE$ kenarının uzunluğunun ($y$) en küçük tam sayı değerini bulmak için $x$'in olası değerlerini deneyelim:

• Eğer $x = 2$ ise: $|2 - 3| < y < 2 + 3 \Rightarrow 1 < y < 5$. Bu durumda en küçük $y = 2$ olur.
• Eğer $x = 3$ ise: $|3 - 3| < y < 3 + 3 \Rightarrow 0 < y < 6$. Bu durumda en küçük $y = 1$ olur.
• Eğer $x = 4$ ise: $|4 - 3| < y < 4 + 3 \Rightarrow 1 < y < 7$. Bu durumda en küçük $y = 2$ olur.
• Eğer $x = 5$ ise: $|5 - 3| < y < 5 + 3 \Rightarrow 2 < y < 8$. Bu durumda en küçük $y = 3$ olur.
• Eğer $x = 6$ ise: $|6 - 3| < y < 6 + 3 \Rightarrow 3 < y < 9$. Bu durumda en küçük $y = 4$ olur.

Görüldüğü gibi, $GE$ kenarının alabileceği en küçük tam sayı değeri $1$ cm'dir (bu durum $HE=3$ olduğunda gerçekleşir).

• 4. Adım: $\triangle GEF$ Üçgeninin Minimum Çevresini Bulma

$\triangle GEF$ üçgeninin kenarları $GE = y$, $GF = a$ ve $EF = b$ olsun. $y, a, b$ birer tam sayıdır. Biz $y=1$ olarak en küçük değeri bulduk. Şimdi $a$ ve $b$ kenarlarının da tam sayı olduğunu ve üçgen eşitsizliğini sağladığını varsayarak çevreyi minimum yapmalıyız.

Üçgen eşitsizliğini $\triangle GEF$ için uygulayalım ($y=1$):

• $|a - b| < 1 < a + b$

Eşitsizliğin ikinci kısmı olan $1 < a + b$ ifadesinden, $a+b$ toplamının en az $2$ olması gerektiğini anlarız (çünkü $a$ ve $b$ tam sayıdır).

Eşitsizliğin ilk kısmı olan $|a - b| < 1$ ifadesinden, $a$ ve $b$ arasındaki farkın mutlak değerinin $1$'den küçük olması gerektiğini anlarız. Bu durumda $a$ ve $b$ tam sayı olduğu için $|a-b|$ sadece $0$ olabilir. Yani $a = b$ olmalıdır.

Şimdi bu iki koşulu birleştirelim:

• $a = b$
• $a + b \ge 2$

$a=b$ olduğu için $a+a \ge 2 \Rightarrow 2a \ge 2 \Rightarrow a \ge 1$.

En küçük $a$ değeri $1$ olduğunda, $b$ de $1$ olur. Bu durumda $\triangle GEF$ üçgeninin kenar uzunlukları $(GE, GF, EF) = (1, 1, 1)$ olur.

Bu kenar uzunlukları üçgen eşitsizliğini sağlar mı kontrol edelim:

• $|1 - 1| < 1 < 1 + 1 \Rightarrow 0 < 1 < 2$. Bu ifade doğrudur.

Dolayısıyla, kenar uzunlukları $(1, 1, 1)$ olan bir üçgen oluşturulabilir.

Bu üçgenin çevresi $1 + 1 + 1 = 3$ cm'dir.

Cevap D seçeneğidir.