Verilen şekilde, $x$ uzunluğu iki farklı üçgenin bir kenarıdır: $\triangle ABC$ ve $\triangle BCD$. Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyük olmalıdır. Bu kurala üçgen eşitsizliği denir.

• $\triangle ABC$ için üçgen eşitsizliği uygulayalım:

  Kenar uzunlukları $AB = 5$ cm, $AC = 7$ cm ve $BC = x$ cm'dir.

  Üçgen eşitsizliğine göre:

  $\left|AC - AB\right| < BC < AC + AB$

  $\left|7 - 5\right| < x < 7 + 5$

  $2 < x < 12$

• $\triangle BCD$ için üçgen eşitsizliği uygulayalım:

  Kenar uzunlukları $BD = 6$ cm, $CD = 9$ cm ve $BC = x$ cm'dir.

  Üçgen eşitsizliğine göre:

  $\left|CD - BD\right| < BC < CD + BD$

  $\left|9 - 6\right| < x < 9 + 6$

  $3 < x < 15$

• $x$ için ortak değer aralığını bulalım:

  Her iki eşitsizliğin de sağlanması gerekir. Bu durumda $x$ için alt sınır, alt sınırların en büyüğü; üst sınır ise üst sınırların en küçüğü olacaktır.

  Alt sınır: $\max(2, 3) = 3$

  Üst sınır: $\min(12, 15) = 12$

  Dolayısıyla, $x$ için geçerli aralık:

  $3 < x < 12$

• $x$'in alabileceği doğal sayı değerlerini bulalım:

  $x$ bir doğal sayı olduğu için, $3 < x < 12$ aralığındaki doğal sayılar şunlardır:

  $x \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$

• Bu değerlerin toplamını hesaplayalım:

  Toplam $= 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11$

  Bu bir aritmetik dizi toplamıdır. Terim sayısı $11 - 4 + 1 = 8$'dir.

  Toplam $= \frac{\text{Terim Sayısı}}{2} \times (\text{İlk Terim} + \text{Son Terim})$

  Toplam $= \frac{8}{2} \times (4 + 11)$

  Toplam $= 4 \times 15$

  Toplam $= 60$

Cevap A seçeneğidir.