Soruyu çözmek için, verilen iki üçgene üçgen eşitsizliği kuralını ve çeşitkenar üçgen olma şartını adım adım uygulayacağız.

• 1. Üçgen ABD için üçgen eşitsizliği:

  Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değerinden büyük, toplamından ise küçük olmalıdır.

  • $|10 - 7| < x < 10 + 7$
  • $3 < x < 17$
• 2. Üçgen BCD için üçgen eşitsizliği:
  • $|6 - 5| < x < 6 + 5$
  • $1 < x < 11$
• 3. x için ortak aralığı bulma:

  x değeri her iki üçgenin de kenarı olduğu için, her iki eşitsizliği de sağlamalıdır. Bu nedenle, alt sınırlar arasında en büyüğünü, üst sınırlar arasında ise en küçüğünü alırız.

  • $\max(3, 1) < x < \min(17, 11)$
  • $3 < x < 11$
  • Bu aralıktaki tam sayılar: $\{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$
• 4. Çeşitkenar üçgen olma şartını uygulama:

  Soruda verilen üçgenlerin "çeşitkenar" olduğu belirtilmiştir. Çeşitkenar üçgen, tüm kenar uzunlukları birbirinden farklı olan üçgendir. Bu şart, x'in alabileceği bazı değerleri kısıtlayacaktır.

  • Üçgen ABD için: Kenarlar $7, 10, x$. Çeşitkenar olması için $x \neq 7$ ve $x \neq 10$ olmalıdır.
  • Üçgen BCD için: Kenarlar $5, 6, x$. Çeşitkenar olması için $x \neq 5$ ve $x \neq 6$ olmalıdır.
• 5. Geçerli tam sayı değerlerini belirleme:

  Yukarıdaki kısıtlamaları $3 < x < 11$ aralığındaki tam sayılara uygulayalım:

  • Başlangıçtaki tam sayılar: $\{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$
  • $x \neq 5$ kısıtlaması nedeniyle 5'i çıkarırız. Kalanlar: $\{4, 6, 7, 8, 9, 10\}$
  • $x \neq 6$ kısıtlaması nedeniyle 6'yı çıkarırız. Kalanlar: $\{4, 7, 8, 9, 10\}$
  • $x \neq 7$ kısıtlaması nedeniyle 7'yi çıkarırız. Kalanlar: $\{4, 8, 9, 10\}$
  • $x \neq 10$ kısıtlaması nedeniyle 10'u çıkarırız. Kalanlar: $\{4, 8, 9\}$
• 6. Sonuç:

  x'in alabileceği tam sayı değerleri $\{4, 8, 9\}$'dur. Toplamda 3 farklı tam sayı değeri vardır.

Cevap C seçeneğidir.