Bir üçgenin kenar uzunlukları $a$, $b$ ve $c$ olsun. Soruda verilen bilgilere göre:

• Kenar uzunlukları tam sayıdır.
• Çevre uzunluğu 13 cm'dir, yani $a + b + c = 13$.

Üçgen eşitsizliğine göre, bir üçgende herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır. Yani:

• $a + b > c$
• $a + c > b$
• $b + c > a$

Bizden üçgenin bir kenar uzunluğunun en az kaç olabileceği isteniyor. Bir kenarı, örneğin $a$'yı en küçük yapmak istediğimizi varsayalım.

Çevre uzunluğu $a + b + c = 13$ olduğundan, $b + c = 13 - a$ yazabiliriz.

Üçgen eşitsizliğinden $b + c > a$ olduğunu biliyoruz. $b + c$ yerine $13 - a$ yazarsak:

$$13 - a > a$$

$$13 > 2a$$

$$a < \frac{13}{2}$$

$$a < 6.5$$

Bu eşitsizlik, bir kenar uzunluğunun 6.5 cm'den küçük olması gerektiğini gösterir. Kenar uzunlukları tam sayı olduğu için, bir kenar en fazla 6 cm olabilir.

Şimdi, bir kenarın alabileceği en küçük tam sayı değerini bulmak için seçenekleri veya $a < 6.5$ koşulunu sağlayan en küçük pozitif tam sayıları deneyelim. En küçük pozitif tam sayı 1'dir.

Eğer bir kenar $a = 1$ cm olursa:

• $b + c = 13 - 1 = 12$ olmalıdır.
• Üçgen eşitsizliklerini kontrol edelim:
  • $1 + b > c$
  • $1 + c > b$
  • $b + c > 1$ (Bu zaten $12 > 1$ olduğu için sağlanır.)

Şimdi $b + c = 12$ olacak şekilde tam sayı $b$ ve $c$ değerleri bulmalıyız ki diğer eşitsizlikler de sağlansın. Örneğin, $b=6$ ve $c=6$ seçebiliriz:

• $1 + 6 > 6 \Rightarrow 7 > 6$ (Doğru)
• $1 + 6 > 6 \Rightarrow 7 > 6$ (Doğru)
• $6 + 6 > 1 \Rightarrow 12 > 1$ (Doğru)

Kenar uzunlukları (1, 6, 6) olan bir üçgen oluşturulabilir ve bu üçgenin çevresi $1 + 6 + 6 = 13$ cm'dir. Tüm kenar uzunlukları tam sayıdır.

Bu durumda, bir kenar uzunluğu en az 1 cm olabilir.

Cevap D seçeneğidir.