Verilen bilgilere göre, kenar uzunlukları tam sayı olan bir ikizkenar üçgenin çevresi 18 birimdir. Eş olmayan kenarın uzunluğunun ne olamayacağını bulmamız gerekiyor.

• İkizkenar üçgenin eşit kenarlarının uzunluğunu $a$ ve eş olmayan kenarının uzunluğunu $b$ olarak adlandıralım. Kenar uzunlukları tam sayı olduğu için $a, b \in \mathbb{Z}^+$.
• Üçgenin çevresi $P = a + a + b = 2a + b$ formülüyle bulunur.
• Soruda çevre 18 birim olarak verildiği için denklemi kurarız: $$2a + b = 18$$
• Bir üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi belirten Üçgen Eşitsizliği Teoremi'ne göre, herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır. Bu durumda:
  • $a + a > b \Rightarrow 2a > b$
  • $a + b > a \Rightarrow b > 0$ (Bu zaten $b$ pozitif tam sayı olduğu için sağlanır.)
• $2a + b = 18$ denkleminden $2a = 18 - b$ ifadesini elde ederiz.
• Bu ifadeyi $2a > b$ eşitsizliğine yerine koyalım: $$18 - b > b$$ $$18 > 2b$$ $$9 > b$$
• Bu eşitsizlik, eş olmayan kenar $b$'nin 9'dan küçük olması gerektiğini gösterir. Ayrıca $b$ bir kenar uzunluğu olduğu için pozitif bir tam sayı olmalıdır. Yani $1 \le b \le 8$.
• Şimdi seçenekleri kontrol edelim:
  • A) 2 birim: $b=2$ olabilir, çünkü $2 < 9$. ($2a+2=18 \Rightarrow 2a=16 \Rightarrow a=8$. Kenarlar: 8, 8, 2. Üçgen eşitsizliği sağlanır: $8+8>2$ ve $8+2>8$.)
  • B) 4 birim: $b=4$ olabilir, çünkü $4 < 9$. ($2a+4=18 \Rightarrow 2a=14 \Rightarrow a=7$. Kenarlar: 7, 7, 4. Üçgen eşitsizliği sağlanır: $7+7>4$ ve $7+4>7$.)
  • C) 8 birim: $b=8$ olabilir, çünkü $8 < 9$. ($2a+8=18 \Rightarrow 2a=10 \Rightarrow a=5$. Kenarlar: 5, 5, 8. Üçgen eşitsizliği sağlanır: $5+5>8$ ve $5+8>5$.)
  • D) 10 birim: $b=10$ olamaz, çünkü $10 \not< 9$. Bu durum $b < 9$ eşitsizliğini sağlamaz. Eğer $b=10$ olsaydı, $2a+10=18 \Rightarrow 2a=8 \Rightarrow a=4$ olurdu. Kenarlar (4, 4, 10) olurdu. Üçgen eşitsizliğini kontrol ettiğimizde $4+4 > 10 \Rightarrow 8 > 10$ ifadesi yanlış olurdu. Bu kenarlarla bir üçgen oluşturulamaz.

Bu nedenle, eş olmayan kenarın uzunluğu 10 birim olamaz.

Cevap D seçeneğidir.