Verilen problemde, iki farklı üçgenin (ABC ve BDC) kenar uzunlukları verilmiştir. $|BC|$ kenarının alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamını bulmamız isteniyor. Bu tür problemlerde üçgen eşitsizliğini kullanırız.

• Adım 1: ABC üçgeni için üçgen eşitsizliğini uygulayalım.

Kenar uzunlukları: $|AB|=13$ cm, $|AC|=10$ cm, $|BC|=x$ cm.

Üçgen eşitsizliğine göre, bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır.

• $|13 - 10| < x < |13 + 10|$
• $3 < x < 23$
• Adım 2: BDC üçgeni için üçgen eşitsizliğini uygulayalım.

Kenar uzunlukları: $|BD|=6$ cm, $|CD|=4$ cm, $|BC|=x$ cm.

Üçgen eşitsizliğine göre:

• $|6 - 4| < x < |6 + 4|$
• $2 < x < 10$
• Adım 3: Her iki eşitsizliği birleştirelim.

$x$ değeri hem ABC üçgeninin hem de BDC üçgeninin kenarı olduğu için, her iki eşitsizliği de sağlamalıdır.

• $3 < x < 23$
• $2 < x < 10$

Bu iki eşitsizliği birleştirdiğimizde, $x$'in alt sınırı için büyük olanı ($max(3, 2) = 3$), üst sınırı için küçük olanı ($min(23, 10) = 10$) alırız.

• $3 < x < 10$
• Adım 4: $|BC|$'nin alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerini bulalım.

$3 < x < 10$ eşitsizliğine göre:

• $x$'in alabileceği en küçük tam sayı değeri: $4$
• $x$'in alabileceği en büyük tam sayı değeri: $9$
• Adım 5: Bu değerlerin toplamını hesaplayalım.

En küçük tam sayı değeri + En büyük tam sayı değeri = $4 + 9 = 13$

Cevap B seçeneğidir.