Verilen bilgilere göre, \(\triangle ABC\)'de m(\(\widehat{BAF}\)) = 30°, AD \(\perp\) BE (yani m(\(\widehat{AFD}\)) = 90°), m(\(\widehat{FBD}\)) = 10° ve |BF| = |FE|'dir. m(\(\widehat{C}\)) açısını bulmamız isteniyor.

• Adım 1: \(\triangle ABE\)'yi inceleyelim.

  • AD, BE doğrusuna F noktasında diktir. Bu durumda AF, \(\triangle ABE\)'nin BE kenarına ait yüksekliğidir.
  • |BF| = |FE| olduğu için F noktası BE kenarının orta noktasıdır. Bu durumda AF, \(\triangle ABE\)'nin BE kenarına ait kenarortayıdır.
  • Bir üçgende yükseklik aynı zamanda kenarortay ise, o üçgen ikizkenar üçgendir ve yükseklik aynı zamanda açıortaydır.
  • Dolayısıyla, \(\triangle ABE\) ikizkenar bir üçgendir ve |AB| = |AE|'dir. Ayrıca AF, \(\widehat{BAE}\) açısının açıortayıdır.

• Adım 2: \(\triangle ABE\)'deki açıları hesaplayalım.

  • AF, \(\widehat{BAE}\) açısının açıortayı olduğundan ve m(\(\widehat{BAF}\)) = 30° verildiğinden, m(\(\widehat{EAF}\)) = 30° olur.
  • Bu durumda m(\(\widehat{BAE}\)) = m(\(\widehat{BAF}\)) + m(\(\widehat{EAF}\)) = 30° + 30° = 60°'dir.
  • \(\triangle ABE\) ikizkenar olduğundan (|AB| = |AE|), taban açıları eşittir: m(\(\widehat{ABE}\)) = m(\(\widehat{AEB}\)).
  • \(\triangle ABE\)'nin iç açıları toplamı 180° olduğundan: m(\(\widehat{BAE}\)) + m(\(\widehat{ABE}\)) + m(\(\widehat{AEB}\)) = 180°.
  • 60° + 2 * m(\(\widehat{ABE}\)) = 180° \(\implies\) 2 * m(\(\widehat{ABE}\)) = 120° \(\implies\) m(\(\widehat{ABE}\)) = 60°'dir.
  • Tüm açıları 60° olduğu için \(\triangle ABE\) bir eşkenar üçgendir.

• Adım 3: \(\triangle ABC\)'nin açılarını hesaplayalım.

  • E noktası AC kenarı üzerinde olduğundan, \(\triangle ABC\)'nin A açısı m(\(\widehat{BAC}\)) = m(\(\widehat{BAE}\)) = 60°'dir.
  • Verilen m(\(\widehat{FBD}\)) = 10°'dir. F noktası BE üzerinde, D noktası BC üzerinde olduğundan, bu açı BE ile BC arasındaki açıdır, yani m(\(\widehat{EBC}\)) = 10°'dir.
  • \(\triangle ABC\)'nin B açısı, m(\(\widehat{ABC}\)) = m(\(\widehat{ABE}\)) + m(\(\widehat{EBC}\)) olarak bulunur.
  • m(\(\widehat{ABC}\)) = 60° + 10° = 70°'dir.

• Adım 4: m(\(\widehat{C}\)) açısını bulalım.

  • \(\triangle ABC\)'nin iç açıları toplamı 180° olduğundan: m(\(\widehat{C}\)) = 180° - m(\(\widehat{BAC}\)) - m(\(\widehat{ABC}\)).
  • m(\(\widehat{C}\)) = 180° - 60° - 70° = 180° - 130° = 50°'dir.

Cevap B seçeneğidir.